Bac 2025, Polynésie : exercice 2

Question 1.

Par lecture graphique, on conjecture que :

• $f$ est strictement croissante sur $]2\,;+\infty[$

• $\lim\limits_{x\to 2^+}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

• la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$

• il n'y a pas d'asymptote horizontale, la courbe montant indéfiniment.

Question 2.

Soit $x\in\,]2\,;+\infty[$. On a

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Or $x>2$, donc $x\neq 0$.

Donc l'équation équivaut à $\ln(x-2)=0$.

Comme $\ln(1)=0$ et que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, on a $x-2=1$, soit $x=3$.

Et $3\in\,]2\,;+\infty[$.

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $]2\,;+\infty[$ est $\{3\}$.

Réponse : $x=3$.

Question 3.

On a $\lim\limits_{x\to 2^+}x=2$.

Lorsque $x\to 2$ avec $x>2$, on a $x-2\to 0^+$, et $\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X=-\infty$. Donc, par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to 2^+}\ln(x-2)=-\infty$.

Par produit de limites (le premier facteur tend vers $2>0$) :

Ce résultat confirme la conjecture de la question 1 : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet la droite d'équation $x=2$ pour asymptote verticale.

Réponse : $\lim\limits_{\substack{x\to 2\\x>2}}f(x)=-\infty$.

Question 4.

La fonction $x\mapsto x$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$. La fonction $x\mapsto x-2$ est dérivable et strictement positive sur $]2\,;+\infty[$, donc $x\mapsto\ln(x-2)$ y est dérivable. Par produit, $f$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$.

On pose $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x-2)$. Alors $u'(x)=1$ et, par dérivée de $\ln(w)$ avec $w(x)=x-2$ :

Avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$ :

Donc, pour tout $x\in\,]2\,;+\infty[$,

Question 5. a)

La fonction $g=f'$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$ comme somme de $x\mapsto\ln(x-2)$ et du quotient $x\mapsto\dfrac{x}{x-2}$, dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle.

Pour le quotient, on pose $u(x)=x$ et $v(x)=x-2$, avec $u'(x)=1$ et $v'(x)=1$. Alors

Donc

Donc, pour tout $x\in\,]2\,;+\infty[$, $g'(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$.

Question 5. b)

Pour $x>2$, on a $(x-2)^2>0$. Donc $g'(x)$ a le signe de $x-4$ :

• $g'(x)<0$ pour $x\in\,]2\,;4[$

• $g'(4)=0$

• $g'(x)>0$ pour $x\in\,]4\,;+\infty[$.

On calcule la valeur de $g$ en $4$ :

Tableau de variations : $g$ est strictement décroissante sur $]2\,;4]$, de $+\infty$ (limite admise en $2^+$) jusqu'à $2+\ln 2$   puis $g$ est strictement croissante sur $[4\,;+\infty[$, de $2+\ln 2$ jusqu'à $+\infty$ (limite admise en $+\infty$).

Donc $g$ admet un minimum, égal à $2+\ln 2$, atteint en $x=4$.

Question 5. c)

D'après la question 5. b), pour tout $x\in\,]2\,;+\infty[$, $g(x)\geqslant 2+\ln 2$.

Or $\ln 2>0$, donc $2+\ln 2>0$.

Donc, pour tout $x\in\,]2\,;+\infty[$, $g(x)>0$.

Question 5. d)

On a $f'=g$, et $g(x)>0$ pour tout $x\in\,]2\,;+\infty[$ d'après la question 5. c).

La dérivée de $f$ est strictement positive sur $]2\,;+\infty[$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]2\,;+\infty[$, ce qui confirme la conjecture de la question 1.

Question 6.

La fonction $f'=g$ est dérivable sur $]2\,;+\infty[$, donc $f''=g'$ et, d'après la question 5. a), $f''(x)=\dfrac{x-4}{(x-2)^2}$, du signe de $x-4$.

• Sur $]2\,;4[$, $f''(x)<0$ : $f$ est concave sur $]2\,;4]$.

• Sur $]4\,;+\infty[$, $f''(x)>0$ : $f$ est convexe sur $[4\,;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en $4$ en changeant de signe : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc un unique point d'inflexion, d'abscisse $4$.

On a $f(4)=4\ln(4-2)=4\ln 2$.

Donc $f$ est concave sur $]2\,;4]$, convexe sur $[4\,;+\infty[$, et $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion de coordonnées $(4\,;4\ln 2)$.

Question 7.

Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x$ est $f'(x)=g(x)$.

On cherche donc le nombre de solutions de l'équation $g(x)=3$ sur $]2\,;+\infty[$.

Sur $]2\,;4]$. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $2^+$ jusqu'à $g(4)=2+\ln 2$.

Or $\ln 2<1$ (car $2<\mathrm{e}$), donc $2+\ln 2<3$. Ainsi $3$ appartient à l'intervalle image $\left[2+\ln 2\,;+\infty\right[$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires dans sa version pour une fonction continue strictement monotone (théorème de la bijection), l'équation $g(x)=3$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]2\,;4]$. Comme $g(4)\neq 3$, on a $\alpha\in\,]2\,;4[$.

Sur $[4\,;+\infty[$. La fonction $g$ est continue et strictement croissante, de $g(4)=2+\ln 2<3$ jusqu'à la limite $+\infty$. Pour la même raison, l'équation $g(x)=3$ admet une unique solution $\beta$ sur $]4\,;+\infty[$.

Les deux solutions appartiennent à des intervalles disjoints : elles sont distinctes.

Donc il existe exactement deux valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente de coefficient directeur $3$.

Réponse : deux valeurs.

Points clés attendus

• Justifier la dérivabilité de $f$ et de $g$ et détailler la formule $(uv)'=u'v+uv'$ puis celle du quotient.

• Étudier le signe de $g'$ en notant que $(x-2)^2>0$, puis donner la valeur exacte $g(4)=2+\ln 2$ du minimum.

• Déduire $g>0$ de la positivité du minimum, puis les variations de $f$.

• Relier la convexité au signe de $f''$ et justifier le point d'inflexion (changement de signe).

• Pour la question 7, appliquer le théorème de la bijection sur chacun des deux intervalles de monotonie, en vérifiant continuité, stricte monotonie et position de $3$ par rapport aux bornes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.