Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 2

20 novembre 2025 · jour 1 · 4 points

Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ , on considère les points :

A $(4\;;\;-4\;;\;4)$ , B $(5\;;\;-3\;;\;2)$ , C $(6\;;\;- 2;\;;\;3)$ , D(5   1   1)

Démontrer que le triangle ABC est rectangle en $B$ .
Justifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est :

$x - y - 8 = 0.$
On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan (ABC).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ .
2. On note H le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$ .
  
  Déterminer les coordonnées du point H.
3. Montrer que DH $= 2\sqrt 2$ .
1. Montrer que le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$ .
  
  On rappelle que le volume V d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule :
  $V = \dfrac13 \times \mathcal{B} \times h$
  où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.
2. On admet que l'aire du triangle BCD est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$ .
  
  En déduire la valeur exacte de la distance du point A au plan (BCD).

Voir le corrigé

Dans l'énoncé, le point C a pour coordonnées $(6\,;-2\,;3)$ (la coquille de l'énoncé est corrigée ainsi).

Question 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}4-5\\-4-(-3)\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6-5\\-2-(-3)\\3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.

Le repère est orthonormé : le produit scalaire s'obtient à partir des coordonnées.

\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-1)\times1+(-1)\times1+2\times1=-1-1+2=0.

Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont non nuls et orthogonaux. Donc les droites $(BA)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires en B.

Donc le triangle ABC est rectangle en B.

Question 2.

Les vecteurs $\overrightarrow{BA}(-1\,;-1\,;2)$ et $\overrightarrow{BC}(1\,;1\,;1)$ ne sont pas colinéaires : en effet, $\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{BA}$ imposerait $1=-k$ pour la première coordonnée et $1=2k$ pour la troisième, ce qui est impossible. Donc les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent bien un plan.

Le vecteur $\vec{n}(1\,;-1\,;0)$ vérifie

\vec{n}\cdot\overrightarrow{BA}=-1+1+0=0\qquad\text{et}\qquad\vec{n}\cdot\overrightarrow{BC}=1-1+0=0.

Il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est un vecteur normal à (ABC).

Une équation cartésienne de (ABC) est donc de la forme $x-y+k=0$ , où $k$ est un réel.

Le point B appartient au plan : $5-(-3)+k=0$ , soit $8+k=0$ , donc $k=-8$ .

Une équation cartésienne de (ABC) est donc $x-y-8=0$ .

Vérification avec les deux autres points : pour A, $4-(-4)-8=0$   pour C, $6-(-2)-8=0$ .

Question 3. a)

La droite $d$ est orthogonale au plan (ABC) : le vecteur normal $\vec{n}(1\,;-1\,;0)$ est un vecteur directeur de $d$ . De plus, $d$ passe par D $(5\,;1\,;1)$ .

Une représentation paramétrique de $d$ est donc

\begin{cases}x=5+t\\y=1-t\\z=1\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.

Question 3. b)

Le point H est le projeté orthogonal de D sur (ABC) : c'est le point d'intersection de la droite $d$ et du plan (ABC).

Ses coordonnées correspondent à une valeur de $t$ qui vérifie l'équation du plan :

(5+t)-(1-t)-8=0\iff2t-4=0\iff t=2.

On remplace $t=2$ dans la représentation paramétrique : $x=7$ , $y=-1$ , $z=1$ .

Donc H a pour coordonnées $(7\,;-1\,;1)$ .

Réponse : H $(7\,;-1\,;1)$ .

Question 3. c)

On a $\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}7-5\\-1-1\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}$ .

Le repère est orthonormé, donc

DH=\sqrt{2^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}=2\sqrt2.

Donc $DH=2\sqrt2$ .

Question 4. a)

On prend pour base de la pyramide ABCD le triangle ABC. La hauteur correspondante est la distance de D au plan (ABC), c'est-à-dire $DH=2\sqrt2$ , puisque H est le projeté orthogonal de D sur (ABC).

Le triangle ABC est rectangle en B, avec

BA=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt6\qquad\text{et}\qquad BC=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt3.

Son aire est

\mathcal{B}=\dfrac12\times BA\times BC=\dfrac12\times\sqrt6\times\sqrt3=\dfrac{\sqrt{18}}{2}=\dfrac{3\sqrt2}{2}.

D'après la formule $V=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h$ :

\begin{aligned} V&=\dfrac13\times\dfrac{3\sqrt2}{2}\times2\sqrt2\\ &=\dfrac13\times\dfrac{6\times2}{2}\\ &=\dfrac13\times6\\ &=2. \end{aligned}

Donc le volume de la pyramide ABCD est égal à $2$ .

Question 4. b)

Le volume de la pyramide ne dépend pas de la base choisie. On prend maintenant pour base le triangle BCD, d'aire $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$ (valeur admise). La hauteur correspondante est la distance $d_A$ du point A au plan (BCD).

On écrit

V=\dfrac13\times\dfrac{\sqrt{42}}{2}\times d_A=2.

Donc

d_A=\dfrac{3\times2\times2}{\sqrt{42}}=\dfrac{12}{\sqrt{42}}=\dfrac{12\sqrt{42}}{42}=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}.

Donc la distance du point A au plan (BCD) est $\dfrac{2\sqrt{42}}{7}$ , soit environ $1{,}85$ (arrondi au centième).

Réponse : $d(A,(BCD))=\dfrac{12}{\sqrt{42}}=\dfrac{2\sqrt{42}}{7}\approx1{,}85$ .

Points clés attendus

Calculer les coordonnées des vecteurs puis le produit scalaire, et conclure à l'orthogonalité (vecteurs non nuls) en précisant que le repère est orthonormé.
Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ avant de parler de vecteur normal et de plan (ABC).
Vérifier l'équation du plan avec les coordonnées des points A, B et C.
Identifier H comme intersection de $d$ et du plan, en résolvant l'équation en $t$ .
Choisir la bonne base et la bonne hauteur dans la formule du volume, puis l'utiliser deux fois pour déduire la distance de A à (BCD).

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Comment t'entraîner

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Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Nouvelle-Calédonie, 20 novembre 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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