Bac 2025, Asie : exercice 4

Partie A

Question 1. D'après l'énoncé, si $A_n$ est réalisé, alors $A_{n+1}$ est réalisé avec la probabilité $0{,}3$ : $P_{A_n}(A_{n+1})=0{,}3$. Donc $P_{A_n}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=1-0{,}3=0{,}7$.

Si $A_n$ n'est pas réalisé, alors $A_{n+1}$ est réalisé avec la probabilité $0{,}7$ : $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})=0{,}7$. Donc $P_{\overline{A_n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=1-0{,}7=0{,}3$.

Les probabilités à inscrire sur l'arbre sont donc :

• de $A_1$ vers $A_2$ : $0{,}3$   de $A_1$ vers $\overline{A_2}$ : $0{,}7$ (déjà indiqué)

• de $A_2$ vers $A_3$ : $0{,}3$   de $A_2$ vers $\overline{A_3}$ : $0{,}7$ (déjà indiqué)

• de $\overline{A_2}$ vers $A_3$ : $0{,}7$   de $\overline{A_2}$ vers $\overline{A_3}$ : $0{,}3$.

Question 2. Les évènements $A_2$ et $\overline{A_2}$ forment une partition de l'univers.

Comme $p_1=1$, l'évènement $A_1$ est certain, donc $P(A_2)=P_{A_1}(A_2)=0{,}3$ et $P\left(\overline{A_2}\right)=0{,}7$.

D'après la formule des probabilités totales,

Donc $p_3=0{,}58$.

Question 3. Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(A_3)=0{,}58\neq0$),

Donc, sachant que $A_3$ est réalisé, la probabilité que $A_2$ l'ait été est environ $0{,}16$ (arrondie au centième).

Réponse : $P_{A_3}(A_2)\approx0{,}16$.

Partie B

Question 1. L'arbre est complété ainsi :

• de la racine vers $A_n$ : $p_n$   vers $\overline{A_n}$ : $1-p_n$

• de $A_n$ vers $A_{n+1}$ : $0{,}3$   vers $\overline{A_{n+1}}$ : $0{,}7$

• de $\overline{A_n}$ vers $A_{n+1}$ : $0{,}7$   vers $\overline{A_{n+1}}$ : $0{,}3$.

Question 2. a) Les évènements $A_n$ et $\overline{A_n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, pour tout entier $n\geqslant1$,

Question 2. b) Pour tout entier $n\geqslant1$,

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=-0{,}4$.

Son premier terme est $u_1=p_1-0{,}5=1-0{,}5=0{,}5$.

Réponse : $(u_n)$ est géométrique de raison $-0{,}4$ et de premier terme $u_1=0{,}5$.

Question 2. c) Le premier terme de la suite géométrique $(u_n)$ est $u_1$, donc pour tout entier $n\geqslant1$,

Comme $p_n=u_n+0{,}5$, on en déduit

Question 2. d) On a $-1<-0{,}4<1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}(-0{,}4)^{n-1}=0$ (limite d'une suite géométrique de raison comprise strictement entre $-1$ et $1$).

Par produit puis somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}5\times0+0{,}5=0{,}5$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}5$.

Partie C

Question 1. On a $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})=x$ et $P_{A_n}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=x$, donc

Les évènements $A_n$ et $\overline{A_n}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales, pour tout entier $n\geqslant1$,

Question 2. Pour tout entier $n\geqslant1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation. Pour $n=1$ : $\dfrac12(1-2x)^{0}+\dfrac12=\dfrac12+\dfrac12=1=p_1$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geqslant1$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_n=\dfrac12(1-2x)^{n-1}+\dfrac12$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(n+1)$.

D'après la question 1,

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant1$.

Question 3. Comme $0<x<1$, on a $0<2x<2$, donc $-1<1-2x<1$.

Une suite géométrique de raison comprise strictement entre $-1$ et $1$ converge vers $0$ : $\lim\limits_{n\to+\infty}(1-2x)^{n-1}=0$.

Par produit et somme de limites, $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=\dfrac12\times0+\dfrac12=\dfrac12$.

Donc la suite $(p_n)$ est convergente, de limite $\dfrac12$.

Points clés attendus

• Traduire les données de l'énoncé en probabilités conditionnelles et compléter l'arbre en utilisant les évènements contraires.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A_n,\overline{A_n}\}$ pour établir la relation de récurrence.

• Pour la suite géométrique : calculer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, donner la raison et le premier terme (indice 1), puis l'expression de $p_n$.

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion.

• Justifier la convergence par $-1<\text{raison}<1$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.