Bac 2025, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1. La fonction $u : t\mapsto t\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$ est le produit de $t\mapsto t$ et de $t\mapsto\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, dérivables sur $\mathbb{R}$ : elle est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On utilise $(vw)'=v'w+vw'$ avec $v(t)=t$ et $w(t)=\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, donc $v'(t)=1$ et $w'(t)=-0{,}4\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$. Pour tout réel $t$,

Donc

Donc la fonction $u$ est solution de $(E)$.

Question 2. a) Supposons que $g=f-u$ soit solution de $(H)$ : $g'+0{,}4\,g=0$.

On a $f=g+u$, et $f$ est dérivable (comme somme de fonctions dérivables) avec $f'=g'+u'$. Donc

Donc $f$ est solution de $(E)$.

Question 2. b) L'équation $(H)$ s'écrit $y'=-0{,}4\,y$, de la forme $y'=ay$ avec $a=-0{,}4$. Ses solutions sont les fonctions $t\mapsto C\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Réponse : $y(t)=C\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 2. c) D'après la question 2. a) et la réciproque admise, $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g=f-u$ est solution de $(H)$.

D'après la question 2. b), cela équivaut à l'existence d'un réel $C$ tel que, pour tout $t$,

Réponse : les solutions de $(E)$ sont les fonctions $t\mapsto(t+C)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 2. d) On a $f(0)=(0+C)\,\mathrm{e}^{0}=C$. La condition $f(0)=1$ donne $C=1$.

Donc la solution cherchée est $f(t)=(t+1)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$.

Réponse : $f(t)=(t+1)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$.

Partie B

Question 1. a) L'énoncé comporte une coquille : l'expression $(-0{,}4t+0{,}6)\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$ est celle de la dérivée $f'(t)$ et non de $f(t)$ (par exemple, pour $t=0$, $f(0)=1$ alors que $(-0{,}4\times0+0{,}6)\,\mathrm{e}^{0}=0{,}6$). On démontre donc la formule pour $f'$.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;6]$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $v(t)=t+1$ et $w(t)=\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, on a $v'(t)=1$ et $w'(t)=-0{,}4\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$.

Pour tout $t\in[0\,;6]$,

Question 1. b) Pour tout réel $t$, $\mathrm{e}^{-0{,}4t}>0$ : $f'(t)$ a le signe de $-0{,}4t+0{,}6$.

On a $-0{,}4t+0{,}6>0\iff t<\dfrac{0{,}6}{0{,}4}=1{,}5$.

Donc $f'(t)>0$ sur $[0\,;1{,}5[$, $f'(1{,}5)=0$ et $f'(t)<0$ sur $]1{,}5\,;6]$.

Tableau de variations : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1{,}5]$ et strictement décroissante sur $[1{,}5\,;6]$, avec

• $f(0)=1$

• $f(1{,}5)=2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}6}\approx1{,}37$ (maximum)

• $f(6)=7\,\mathrm{e}^{-2{,}4}\approx0{,}64$.

Question 2. a) Sur $[0\,;1{,}5]$. La fonction $f$ est croissante, donc pour tout $t$ de cet intervalle, $f(t)\geqslant f(0)=1>0{,}7$ : l'équation $f(t)=0{,}7$ n'a pas de solution.

Sur $[1{,}5\,;6]$. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante. De plus $f(1{,}5)\approx1{,}37>0{,}7$ et $f(6)\approx0{,}635<0{,}7$, donc $0{,}7$ est compris entre $f(6)$ et $f(1{,}5)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(t)=0{,}7$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1{,}5\,;6]$.

Conclusion. L'équation $f(t)=0{,}7$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0\,;6]$, et $\alpha\in\,]1{,}5\,;6[$.

Question 2. b) À la calculatrice (balayage ou résolution numérique), $\alpha\approx5{,}615$ heure.

Comme $f$ est strictement décroissante sur $[1{,}5\,;6]$ et que $f(\alpha)=0{,}7$, on a $f(t)<0{,}7$ pour $t\in\,]\alpha\,;6]$.

En minutes : $\alpha\times60\approx336{,}9\approx337$ minutes, soit $5\ \text{h}\ 37\ \text{min}$.

Donc la personne est en hypoglycémie à partir d'environ 5 h 37 min après la fin du repas.

Réponse : environ 337 minutes (5 h 37 min).

Question 3. a) On intègre par parties : on pose $v(t)=t+1$ et $w'(t)=\mathrm{e}^{-0{,}4t}$, ce qui donne $v'(t)=1$ et $w(t)=-2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}$. Ces fonctions sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;6]$.

Question 3. b) La glycémie moyenne sur $[0\,;6]$ est la valeur moyenne de $f$ sur cet intervalle :

Donc la glycémie moyenne de cette personne lors des six heures qui suivent le repas est environ $1{,}10\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$ (arrondie au centième).

Réponse : $\mu=\dfrac{-23{,}75\,\mathrm{e}^{-2{,}4}+8{,}75}{6}\approx1{,}10\ \text{g}\cdot\text{L}^{-1}$.

Question 3. c) D'après la partie A (question 2. d)), $f$ est la solution de $(E)$ vérifiant $f(0)=1$. Donc, pour tout $t$,

Une primitive de $t\mapsto\mathrm{e}^{-0{,}4t}-f'(t)$ est $t\mapsto-2{,}5\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}-f(t)$. On en déduit, sans intégration par parties :

On retrouve la valeur de la question 3. a).

Points clés attendus

• Vérifier qu'une fonction est solution en dérivant puis en substituant dans l'équation.

• Rédiger la structure de résolution : solution particulière, équation homogène $y'=ay$, puis somme, et détermination de la constante par la condition initiale.

• Pour l'unicité de $\alpha$ : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes, théorème des valeurs intermédiaires, en traitant aussi la partie croissante.

• Convertir le résultat en minutes et arrondir comme demandé.

• Intégration par parties : choix de $v$ et $w'$ explicite, calcul du crochet, puis valeur moyenne $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.