Bac 2025, Métropole : exercice 3

Affirmation 1 : fausse.

Pour tout entier naturel $n$, on factorise le numérateur par $5^n$ et le dénominateur par $3^n$ :

Limite du premier facteur : $\dfrac53>1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac53\right)^n=+\infty$.

Limite du second facteur : $0<\dfrac15<1$ et $0<\dfrac13<1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{5^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{3^n}=0$. Par quotient, ce facteur tend vers $\dfrac{1+0}{1+0}=1$.

Par produit, $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

La suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ : elle ne converge pas vers $\dfrac53$. L'affirmation 1 est fausse.

Affirmation 2 : vraie.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $w_n\geqslant n$.

Initialisation. On a $w_0=0$ et $0\geqslant 0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $w_k\geqslant k$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $w_{k+1}\geqslant k+1$.

On multiplie l'hypothèse de récurrence par $3>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On ajoute $-2k+3$ à chaque membre :

Or $k+3\geqslant k+1$, donc

$P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $w_n\geqslant n$. L'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : fausse.

Une fonction convexe sur un intervalle est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.

Sur la figure, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de la tangente $T$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $8$, de part et d'autre de $\mathrm{A}$, au voisinage de ce point. Si $f$ était convexe sur $]0\,;+\infty[$, la courbe serait au-dessus de $T$. Ce n'est pas le cas.

La fonction $f$ n'est donc pas convexe sur son ensemble de définition (elle est concave au voisinage du point $\mathrm{A}$). L'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4 : vraie.

On pose $g(x)=\ln(x)-x+1$ pour tout $x\in]0\,;+\infty[$. Il s'agit de montrer que $g(x)\leqslant 0$ sur cet intervalle.

La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables, et

Pour tout $x>0$, $x>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $1-x$ :

• sur $]0\,;1[$, $1-x>0$ donc $g'(x)>0$ et $g$ est strictement croissante

• sur $]1\,;+\infty[$, $1-x<0$ donc $g'(x)<0$ et $g$ est strictement décroissante.

La fonction $g$ admet donc un maximum en $x=1$, égal à

Donc, pour tout $x>0$, $g(x)\leqslant 0$, c'est-à-dire $\ln(x)-x+1\leqslant 0$. L'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : factoriser par les termes dominants $5^n$ et $3^n$, citer la limite de $q^n$ pour $q>1$ puis les opérations sur les limites.

• Affirmation 2 : récurrence rédigée complètement (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion).

• Affirmation 3 : citer la propriété d'une courbe convexe, située au-dessus de ses tangentes, et la confronter à la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $T$.

• Affirmation 4 : étudier le signe de $g'$, en déduire le maximum de $g$ en $1$ et conclure par $g(1)=0$.

• Dans un vrai/faux, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.