Bac 2025, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $d'$ est $\vec{u'}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si $\vec{u'}=\lambda\vec{u}$, les abscisses donneraient $\lambda=\dfrac12$ et les ordonnées $\lambda=1$, ce qui est contradictoire. Donc $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles.

Appartenance de $\mathrm{S}$ à $d$. Pour $t=-1$ :

On retrouve $\mathrm{S}\left(-\dfrac12\,;1\,;4\right)$, donc $\mathrm{S}\in d$.

Appartenance de $\mathrm{S}$ à $d'$. Pour $s=-\dfrac12$ :

On retrouve $\mathrm{S}$, donc $\mathrm{S}\in d'$.

Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas parallèles et ont le point $\mathrm{S}$ en commun : elles sont sécantes en $\mathrm{S}$.

Question 2. a)

On calcule coordonnée par coordonnée :

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la troisième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ne l'est pas, et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\neq\vec{0}$. Les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ ne sont donc pas alignés et définissent bien un plan.

Produits scalaires :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(\mathrm{ABC})$, donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{ABC})$.

Question 2. b)

Le plan $(\mathrm{ABC})$ admet le vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}$, donc une équation cartésienne de la forme

Le point $\mathrm{A}(-1\,;2\,;1)$ appartient au plan, donc

Une équation cartésienne de $(\mathrm{ABC})$ est donc $x+2y+4z-7=0$.

Vérification avec les deux autres points :

Question 3.

On remplace les coordonnées de $\mathrm{S}\left(-\dfrac12\,;1\,;4\right)$ dans le membre de gauche de l'équation du plan :

Comme $\dfrac{21}{2}\neq 0$, le point $\mathrm{S}$ n'appartient pas au plan $(\mathrm{ABC})$.

Les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ définissent le plan $(\mathrm{ABC})$ et $\mathrm{S}$ n'en fait pas partie : les points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{S}$ ne sont pas coplanaires.

Question 4. a)

Le projeté orthogonal de $\mathrm{S}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$ est l'unique point $\mathrm{H}$ du plan tel que $\overrightarrow{\mathrm{HS}}$ soit normal au plan. On vérifie ces deux conditions.

Le point $\mathrm{H}(-1\,;0\,;2)$ appartient au plan : $-1+2\times 0+4\times 2-7=-1+8-7=0$.

On calcule

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{HS}}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$, donc la droite $(\mathrm{HS})$ est orthogonale au plan $(\mathrm{ABC})$ en $\mathrm{H}$.

Donc $\mathrm{H}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{S}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$.

Question 4. b)

On calcule la distance de $\mathrm{S}$ au plan :

Soit $M$ un point quelconque du plan $(\mathrm{ABC})$.

Si $M=\mathrm{H}$, alors $\mathrm{SM}=\mathrm{SH}=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$.

Si $M\neq\mathrm{H}$, le triangle $\mathrm{SHM}$ est rectangle en $\mathrm{H}$, car $(\mathrm{SH})$ est orthogonale au plan donc à la droite $(\mathrm{HM})$ contenue dans ce plan. D'après le théorème de Pythagore :

donc $\mathrm{SM}>\dfrac{\sqrt{21}}{2}$.

Dans tous les cas, $\mathrm{SM}\geqslant\dfrac{\sqrt{21}}{2}$. Il n'existe donc aucun point $M$ du plan $(\mathrm{ABC})$ tel que $\mathrm{SM}<\dfrac{\sqrt{21}}{2}$.

Partie B

Question 1.

On calcule

Si $M(x\,;y\,;z)$, alors $\overrightarrow{\mathrm{C}M}\begin{pmatrix}x-1\\y-1\\z-1\end{pmatrix}$. L'égalité $\overrightarrow{\mathrm{C}M}=k\overrightarrow{\mathrm{CS}}$ donne

Donc

Question 2.

Le triangle $M\mathrm{AB}$ est rectangle en $M$ si et seulement si $\overrightarrow{M\mathrm{A}}\cdot\overrightarrow{M\mathrm{B}}=0$.

On calcule

Le produit scalaire vaut

Le triangle $M\mathrm{AB}$ est donc rectangle en $M$ si et seulement si

Le discriminant est

L'équation a donc deux racines réelles :

On a $k_1<0$, donc $k_1\notin[0\,;1]$. On a $0\leqslant k_2\leqslant 1$, donc $k_2$ convient.

Il existe donc un point $M$ du segment $[\mathrm{CS}]$ tel que le triangle $M\mathrm{AB}$ soit rectangle en $M$, obtenu pour $k=\dfrac{4+2\sqrt{14}}{15}\approx 0{,}766$.

Réponse : oui, pour $k=\dfrac{4+2\sqrt{14}}{15}$.

Points clés attendus

• Pour des droites sécantes : vecteurs directeurs non colinéaires et point commun vérifié dans les deux représentations paramétriques.

• Pour le vecteur normal : justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ et calculer les deux produits scalaires.

• Déterminer la constante de l'équation cartésienne avec un point du plan, et le vérifier avec les autres.

• Pour le projeté orthogonal : $\mathrm{H}$ dans le plan et $\overrightarrow{\mathrm{HS}}$ colinéaire à $\vec{n}$   en déduire $\mathrm{SH}$ puis la minimisation de $\mathrm{SM}$ par le théorème de Pythagore.

• Pour le triangle rectangle en $M$ : condition $\overrightarrow{M\mathrm{A}}\cdot\overrightarrow{M\mathrm{B}}=0$, résolution de l'équation du second degré et vérification que la racine appartient à $[0\,;1]$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.