Bac 2025, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1.

Le premier juillet 2025 correspond à $n = 1$. On a $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = -0{,}02u_n^2 + 1{,}3u_n$, donc

Donc, d'après ce modèle, la posidonie devrait recouvrir $1{,}28$ hectare au 1^er juillet 2025.

Réponse : $u_1 = 1{,}28$ ha.

Question 2.

a) Soit $P(n)$ la propriété : $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$.

Initialisation. On a $u_0 = 1$ et $u_1 = 1{,}28$, donc $1 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 20$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 20$.

Les nombres $1$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $20$ appartiennent à l'intervalle $[0\;;\;20]$, sur lequel la fonction $h$ est croissante. Elle conserve donc le sens des inégalités :

Or $h(u_k) = u_{k+1}$ et $h(u_{k+1}) = u_{k+2}$, et

On obtient donc

Comme $1 \leqslant 1{,}28$ et $18 \leqslant 20$, on en déduit $1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 20$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

b) D'après la question précédente, $u_n \leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

De plus, $u_n \leqslant 20$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $20$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ converge vers un réel $L$, avec $1 \leqslant L \leqslant 20$ puisque $1 \leqslant u_n \leqslant 20$ pour tout $n$.

c) La fonction $h$ est une fonction polynôme, donc continue sur $[0\;;\;20]$, et tous les termes $u_n$ appartiennent à $[0\;;\;20]$.

Comme $u_n \to L$ et que $h$ est continue en $L$, on a $h(u_n) \to h(L)$. Or $h(u_n) = u_{n+1} \to L$. Par unicité de la limite, $L$ vérifie

On résout :

Comme $L \geqslant 1$, la valeur $L = 0$ est exclue.

Donc $L = 15$.

Réponse : $L = 15$.

Question 3.

a) La suite $(u_n)$ converge vers $15$, et $15 > 14$.

Par définition de la limite, l'intervalle ouvert $]14\;;\;16[$ contient $15$, donc il contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang.

À partir de ce rang, on a donc $u_n > 14$.

Donc, d'après ce modèle, la surface recouverte par la posidonie finira par dépasser 14 hectares.

b) On complète la fonction : tant que $u \leqslant 14$, on augmente $n$ de $1$ et on remplace $u$ par le terme suivant.

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while u <= 14:
        n = n + 1
        u = -0.02 * u**2 + 1.3 * u
    return n

La boucle s'arrête dès que $u > 14$, et la fonction renvoie alors le plus petit rang $n$ tel que $u_n > 14$.

Le calcul des termes donne $u_{16} \approx 13{,}35$, $u_{17} \approx 13{,}79$ et $u_{18} \approx 14{,}12$. Comme la suite est croissante, $u_n \leqslant 14$ pour $n \leqslant 17$ et $u_{18} > 14$.

Donc la fonction renvoie $18$ : d'après ce modèle, la superficie dépasse 14 hectares au 1^er juillet 2042.

Réponse : la fonction renvoie $18$.

Partie B

Question 1.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et ne s'y annule pas. Donc $g = \dfrac1f$ est définie et dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$, avec

Comme $f$ est solution de $(E_1)$, on a $f'(t) = 0{,}02f(t)\left(15 - f(t)\right)$. Donc, pour tout $t \geqslant 0$,

Donc $g$ est solution de l'équation différentielle $(E_2) : y' = -0{,}3y + 0{,}02$.

Question 2.

L'équation $(E_2)$ est de la forme $y' = ay + b$ avec $a = -0{,}3 \neq 0$ et $b = 0{,}02$.

Une solution constante est $y = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{0{,}02}{0{,}3} = \dfrac{1}{15}$.

Les solutions de l'équation $y' = ay + b$ sont les fonctions $t \mapsto C\mathrm{e}^{at} - \dfrac{b}{a}$, avec $C$ réel. Donc les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions

Réponse : $y(t) = C\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + \dfrac{1}{15}$, $C \in \mathbb{R}$.

Question 3.

D'après les questions 1 et 2, il existe un réel $C$ tel que, pour tout $t \geqslant 0$,

On a $f(0) = 1$, donc $g(0) = \dfrac{1}{f(0)} = 1$. Or $g(0) = C + \dfrac{1}{15}$, donc

Ainsi $g(t) = \dfrac{14}{15}\mathrm{e}^{-0{,}3t} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{14\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1}{15}$.

Comme $f = \dfrac1g$ (et $g$ ne s'annule pas puisque $g(t) = \dfrac{1}{f(t)}$), on en déduit

Donc, pour tout $t \in [0\;;\;+\infty[$, $f(t) = \dfrac{15}{14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1}$.

Question 4.

On a $\lim\limits_{t \to +\infty} (-0{,}3t) = -\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \mathrm{e}^{X} = 0$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{t \to +\infty} \mathrm{e}^{-0{,}3t} = 0$.

Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \left(14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1\right) = 1$, et par quotient

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $15$, ce qui est cohérent avec la limite $L = 15$ du modèle discret.

Réponse : $\lim\limits_{t \to +\infty} f(t) = 15$.

Question 5.

Pour tout $t \geqslant 0$, on a $14\,\mathrm{e}^{-0{,}3t} + 1 > 0$. On peut donc multiplier les deux membres de l'inégalité par ce nombre sans changer son sens :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$, donc elle conserve le sens de l'inégalité :

L'ensemble des solutions dans $[0\;;\;+\infty[$ est donc $\left]\dfrac{\ln 196}{0{,}3}\;;\;+\infty\right[$, avec $\dfrac{\ln 196}{0{,}3} \approx 17{,}6$.

Interprétation : d'après ce modèle continu, la superficie recouverte par la posidonie dépasse 14 hectares environ $17{,}6$ ans après le 1^er juillet 2024, c'est-à-dire au cours de l'année 2042. Ce résultat est cohérent avec le modèle discret, où le seuil est franchi au 1^er juillet 2042.

Réponse : $t > \dfrac{\ln 196}{0{,}3} \approx 17{,}6$ ans.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée complètement (initialisation, hérédité avec la croissance de $h$ sur $[0\;;\;20]$, conclusion)   ne pas oublier de calculer $h(1)$ et $h(20)$.

• Citer le théorème de convergence monotone (suite croissante et majorée), puis la continuité de $h$ pour passer à la limite dans $u_{n+1} = h(u_n)$   éliminer la solution $L = 0$ grâce à $L \geqslant 1$.

• Algorithme : condition de boucle $u \leqslant 14$ (et non $u < 14$), mise à jour de $n$ et de $u$   la valeur renvoyée est un rang.

• Partie B : dériver $\dfrac1f$ en utilisant que $f$ ne s'annule pas, remplacer $f'$ par l'équation $(E_1)$, utiliser $f(0) = 1$ pour déterminer la constante.

• Inéquation : justifier le signe du dénominateur, utiliser la stricte croissance de $\ln$, et interpréter la valeur de $t$ dans le contexte.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.