Bac 2025, Amérique du Sud : exercice 3

Question 1. On a $v_0=\ln 4$, donc $\mathrm{e}^{v_0}=\mathrm{e}^{\ln 4}=4$.

On en déduit :

Donc $v_1=\ln 7$ et $w_0=3$.

Réponse : $v_1=\ln 7$ et $w_0=3$.

Question 2. a) Réponse : Formule 2.

Pour qu'un tableur effectue un calcul, la formule doit commencer par le signe « = ». La formule 1 serait lue comme du texte : elle est exclue.

La cellule B3 doit contenir $v_1=\ln\left(-1+2\mathrm{e}^{v_0}\right)$, où $v_0$ se trouve dans la cellule B2. La formule doit donc faire référence à B2. La formule 3 fait référence à A2, qui contient l'indice $n$ et non le terme $v_n$ : elle est exclue.

Donc la formule à saisir en B3 est = LN(-1 + 2 * EXP(B2)).

Question 2. b) D'après le tableau, les valeurs de la colonne B augmentent à chaque ligne : $1{,}386\ldots<1{,}945\ldots<2{,}564\ldots<\ldots$

Donc on conjecture que la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

Question 2. c) On note $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln\left(-1+2\mathrm{e}^{x}\right)$, de sorte que $v_{n+1}=f(v_n)$ pour tout entier naturel $n$.

La fonction $x\mapsto -1+2\mathrm{e}^{x}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (la fonction exponentielle est strictement croissante). La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$. Donc, par composition, $f$ est strictement croissante sur l'intervalle où elle est définie, qui contient $]0\,;+\infty[$ : pour $x>0$, $\mathrm{e}^x>1$ donc $-1+2\mathrm{e}^x>1>0$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $P(n)$ : « $v_n\leqslant v_{n+1}$ ».

Initialisation. On a $v_0=\ln 4$ et $v_1=\ln 7$. Comme $4<7$ et que $\ln$ est strictement croissante, $v_0<v_1$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $v_k\leqslant v_{k+1}$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $v_{k+1}\leqslant v_{k+2}$.

Les réels $v_k$ et $v_{k+1}$ sont strictement positifs (propriété admise), donc ils appartiennent à l'intervalle $]0\,;+\infty[$ sur lequel $f$ est croissante.

On applique $f$ à chaque membre de l'inégalité en conservant le sens :

c'est-à-dire $v_{k+1}\leqslant v_{k+2}$. Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $(v_n)$ est croissante, ce qui valide la conjecture.

Question 3. a) Pour tout entier naturel $n$ :

L'égalité $\mathrm{e}^{\ln y}=y$ s'applique car $-1+2\mathrm{e}^{v_n}>0$ ($v_{n+1}$ est bien défini).

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $w_0=3$.

Question 3. b) Une suite géométrique de raison $2$ et de premier terme $3$ vérifie $w_n=3\times 2^n$ pour tout entier naturel $n$.

Or $w_n=-1+\mathrm{e}^{v_n}$, donc

On applique la fonction $\ln$ (les deux membres sont strictement positifs) :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=\ln\left(1+3\times 2^n\right)$.

Question 3. c) Comme $2>1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty$.

Donc, par produit puis somme :

Par ailleurs $\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty$. D'après le théorème de composition des limites :

Donc la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.

Question 4. Dans la fonction seuil, la variable V contient successivement les termes $v_0,v_1,v_2,\ldots$ : la ligne V=ln(2*exp(V)-1) calcule $v_{n+1}$ à partir de $v_n$, et n est l'indice du terme contenu dans V.

La boucle while V < S s'arrête dès que $v_n\geqslant S$.

Soit $S$ un réel quelconque. Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty$, il existe un rang $n_0$ tel que $v_n\geqslant S$ pour tout $n\geqslant n_0$ (définition de la limite $+\infty$ avec l'intervalle $[S\,;+\infty[$).

Donc la condition V < S devient fausse au bout d'un nombre fini d'itérations : la boucle se termine et la fonction renvoie un résultat.

Donc, quelle que soit la valeur de $S$, la fonction seuil renvoie le plus petit entier $n$ tel que $v_n\geqslant S$.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée : initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé », croissance de la fonction $f$ sur l'intervalle contenant les termes, conclusion.

• Pour la suite géométrique : calculer $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ et utiliser $\mathrm{e}^{\ln y}=y$.

• Déduire $v_n$ de $w_n$ en passant par $\mathrm{e}^{v_n}$ puis par $\ln$.

• Limite par composition : limite de $2^n$ avec $2>1$, puis limite de $\ln$ en $+\infty$.

• Pour l'algorithme : la limite $+\infty$ garantit que la condition d'arrêt est atteinte pour tout seuil $S$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.