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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2025, Centres étrangers : exercice 2

12 juin 2025 · jour 1 · 4 points QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.

Les quatre questions sont indépendantes.

Pour chaque question, une seule réponse correcte. Aucune justification n’est demandée.

Dans tout l'exercice, on considère que l'espace est muni d'un repère orthonormé

(O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

On considère:

  • les points A(−3  ;  1  ;  4)(-3\;;\;1\;;\;4) et B(1   5   2)

  • le plan P\mathcal{P} d'équation cartésienne 4x+4y−2z+3=04x + 4y -2z + 3 = 0

  • la droite (d)(d) dont une représentation paramétrique est {x=−6+3ty=−1z=−9−5t,\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 6 + 3t\\y&=&\phantom{-}1\\z&=&\phantom{-}9 - 5t \end{array}\right., où t∈  Rt \in\;\mathbb{R}.

  1. Les droites (AB) et (d)(d) sont:

    1. sécantes non perpendiculaires.

    2. perpendiculaires.

    3. non coplanaires.

    4. parallèles.

  2. La droite (AB) est:

    1. incluse dans le plan P\mathcal{P}.

    2. strictement parallèle au plan P\mathcal{P}.

    3. sécante et non orthogonale au plan P\mathcal{P}.

    4. orthogonale au plan P\mathcal{P}.

  3. On considère le plan P' d'équation cartésienne 2x+y+6z+5=02x+y+6z+5 = 0.

    Les plans P\mathcal{P} et P′\mathcal{P}' sont:

    1. sécants et non perpendiculaires.

    2. perpendiculaires.

    3. confondus.

    4. strictement parallèles.

  4. On considère le point C(0  ;  1  ;  −1)(0\;;\;1\;;\;-1). La valeur de l'angle BAC^\widehat{\text{BAC}} arrondie au degré est:

    1. 90°

    2. 51°

    3. 39°

    4. 0°

Voir le corrigé

On calcule d'abord le vecteur AB→\overrightarrow{AB} avec A(−3 ;1 ;4)(-3\,;1\,;4) et B(1 ;5 ;2)(1\,;5\,;2) :

AB→(1+3 ;5−1 ;2−4)=(4 ;4 ;−2).\overrightarrow{AB}(1+3\,;5-1\,;2-4)=(4\,;4\,;-2).

Question 1. Réponse a.

Un vecteur directeur de (d)(d) est u⃗(3 ;0 ;−5)\vec{u}(3\,;0\,;-5).

Les droites ne sont pas parallèles : AB→\overrightarrow{AB} et u⃗\vec{u} ne sont pas colinéaires, car la deuxième coordonnée de u⃗\vec{u} est nulle alors que celle de AB→\overrightarrow{AB} ne l'est pas.

Elles sont sécantes : pour t=1t=1, le point de (d)(d) a pour coordonnées (−6+3 ;1 ;9−5)=(−3 ;1 ;4)(-6+3\,;1\,;9-5)=(-3\,;1\,;4), c'est-à-dire A.

Donc A appartient à (d)(d) et à (AB)(AB) : les droites sont sécantes en A (et en particulier coplanaires).

Elles ne sont pas perpendiculaires : AB→⋅u⃗=4×3+4×0+(−2)×(−5)=12+10=22≠0\overrightarrow{AB}\cdot\vec{u}=4\times 3+4\times 0+(-2)\times(-5)=12+10=22\neq 0.

Donc les droites (AB)(AB) et (d)(d) sont sécantes non perpendiculaires : la réponse est a.

Question 2. Réponse d.

Un vecteur normal au plan P\mathcal{P} est n⃗(4 ;4 ;−2)\vec{n}(4\,;4\,;-2), lu sur l'équation 4x+4y−2z+3=04x+4y-2z+3=0.

On a n⃗=AB→\vec{n}=\overrightarrow{AB} : les vecteurs sont colinéaires.

Donc la droite (AB)(AB), dirigée par un vecteur normal à P\mathcal{P}, est orthogonale au plan P\mathcal{P}.

Les autres propositions sont donc fausses : une droite orthogonale à un plan est sécante à ce plan, elle n'y est pas incluse et ne lui est pas parallèle.

La réponse est d.

Question 3. Réponse b.

Les vecteurs normaux sont n⃗(4 ;4 ;−2)\vec{n}(4\,;4\,;-2) pour P\mathcal{P} et n⃗′(2 ;1 ;6)\vec{n}'(2\,;1\,;6) pour P′\mathcal{P}'.

On calcule

n⃗⋅n⃗′=4×2+4×1+(−2)×6=8+4−12=0.\vec{n}\cdot\vec{n}'=4\times 2+4\times 1+(-2)\times 6=8+4-12=0.

Les vecteurs normaux sont orthogonaux, donc les plans P\mathcal{P} et P′\mathcal{P}' sont perpendiculaires.

Ils ne sont donc ni confondus ni parallèles (des plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires, ce qui n'est pas le cas ici puisque 42≠41\dfrac42\neq\dfrac41).

La réponse est b.

Question 4. Réponse b.

On calcule, avec C(0 ;1 ;−1)(0\,;1\,;-1) :

AC→(0+3 ;1−1 ;−1−4)=(3 ;0 ;−5).\overrightarrow{AC}(0+3\,;1-1\,;-1-4)=(3\,;0\,;-5).

On a

AB→⋅AC→=4×3+4×0+(−2)×(−5)=12+10=22.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times 3+4\times 0+(-2)\times(-5)=12+10=22.

Les normes sont

AB=16+16+4=36=6,AC=9+0+25=34.AB=\sqrt{16+16+4}=\sqrt{36}=6,\qquad AC=\sqrt{9+0+25}=\sqrt{34}.

Comme AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡BAC^\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC},

cos⁡BAC^=22634≈0,629.\cos\widehat{BAC}=\dfrac{22}{6\sqrt{34}}\approx 0{,}629.

À la calculatrice, BAC^≈51,04∘\widehat{BAC}\approx 51{,}04^\circ, soit 51∘51^\circ au degré près.

On écarte aussi 90∘90^\circ (le produit scalaire est non nul) et 0∘0^\circ (les vecteurs ne sont pas colinéaires et de même sens).

La réponse est b.

Points clés attendus

  • Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée avant tout raisonnement.

  • Position relative de deux droites : colinéarité des vecteurs directeurs, puis point commun, puis produit scalaire pour la perpendicularité.

  • Droite et plan : comparer un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal du plan.

  • Plans perpendiculaires : produit scalaire nul des vecteurs normaux.

  • Angle : produit scalaire et normes, puis arrondi demandé au degré.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Centres étrangers, 12 juin 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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