Bac 2025, Asie : exercice 3

Question 1. L'expérience consiste à répondre à chacune des 10 questions du QCM.

• Chaque réponse est une épreuve de Bernoulli : succès « la réponse est correcte » de probabilité $p=\dfrac14$, échec de probabilité $\dfrac34$.

• Dominique répond au hasard à chaque question : les 10 épreuves sont identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès dans cette répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac14$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}\left(10\,;\dfrac14\right)$.

Question 2. D'après la formule de la loi binomiale,

On obtient $P(X=5)\approx0{,}0584$ (arrondi à $10^{-4}$).

Donc la probabilité que Dominique obtienne exactement 5 bonnes réponses est environ $0{,}0584$.

Réponse : $P(X=5)\approx0{,}0584$.

Question 3. Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, l'espérance vaut $E(X)=np$. Donc

Interprétation : si Dominique répondait au hasard à un grand nombre de QCM de ce type, il obtiendrait en moyenne 2,5 bonnes réponses par QCM.

Réponse : $E(X)=2{,}5$.

Question 4. a) Chaque bonne réponse rapporte 1 point et chaque mauvaise fait perdre 0,5 point. Le score maximal $Y=10$ est atteint si et seulement si les 10 réponses sont correctes, c'est-à-dire si $X=10$.

Donc

Réponse : $P(Y=10)=\dfrac{1}{4^{10}}=\dfrac{1}{1\,048\,576}$.

Question 4. b) D'après la question 4. d) (qui s'établit indépendamment de celle-ci), $Y=1{,}5X-5$.

On cherche les valeurs entières de $X$ pour lesquelles $Y\geqslant0$ :

Comme $X$ est un entier, cela équivaut à $X\geqslant4$.

Vérification : avec 3 bonnes réponses, $Y=1{,}5\times3-5=-0{,}5<0$   avec 4 bonnes réponses, $Y=1{,}5\times4-5=1>0$.

Donc la note finale de Dominique est positive à partir de 4 bonnes réponses.

Réponse : à partir de 4 bonnes réponses.

Question 4. c) D'après la question 4. b), $Y>0$ équivaut à $X\geqslant4$. Donc $Y\leqslant0$ équivaut à $X\leqslant3$ (la valeur $Y=0$ n'est atteinte pour aucune valeur entière de $X$).

Donc

À la calculatrice, on obtient $P(X\leqslant3)\approx0{,}7759$, soit $0{,}78$ au centième.

Donc la probabilité que la note finale de Dominique soit négative ou nulle est environ $0{,}78$.

Réponse : $P(Y\leqslant0)\approx0{,}78$.

Question 4. d) Lorsque $X$ réponses sont correctes, il y a $10-X$ réponses incorrectes. Chaque bonne réponse rapporte 1 point et chaque mauvaise réponse fait perdre 0,5 point, donc

Donc $Y=1{,}5X-5$.

Question 4. e) Par linéarité de l'espérance, $E(aX+b)=aE(X)+b$. Donc

Donc, en répondant au hasard, Dominique obtiendra en moyenne une note de $-1{,}25$ point.

Réponse : $E(Y)=-1{,}25$.

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale : répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec le paramètre $p=\frac14$.

• Écrire la formule $\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ avant l'application numérique, et respecter l'arrondi demandé.

• Interpréter l'espérance dans le contexte (moyenne sur un grand nombre de QCM).

• Exprimer $Y$ en fonction de $X$ en comptant les mauvaises réponses ($10-X$), puis traduire $Y\leqslant0$ en une condition sur $X$.

• Utiliser la linéarité de l'espérance.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.