Bac 2025, Asie : exercice 1

Affirmation 1. Vraie.

La fonction $f$ est le produit des fonctions $u : x\mapsto x$ et $v : x\mapsto \mathrm{e}^{-2x}$, toutes deux dérivables sur $\mathbb{R}$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

On utilise la formule de dérivation d'un produit : $(uv)'=u'v+uv'$.

On a $u'(x)=1$.

La fonction $v$ est de la forme $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-2x$, donc $v'(x)=w'(x)\,\mathrm{e}^{w(x)}=-2\,\mathrm{e}^{-2x}$.

Donc, pour tout réel $x$,

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=(-2x+1)\,\mathrm{e}^{-2x}$ : l'affirmation 1 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 2. Vraie.

Pour tout réel $x$, d'après l'affirmation 1,

Donc $f$ vérifie $f'+2f=\mathrm{e}^{-2x}$ pour tout réel $x$ : $f$ est bien solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'+2y=\mathrm{e}^{-2x}$.

Réponse : vraie.

Affirmation 3. Fausse.

La fonction $f'$ est le produit de $x\mapsto 1-2x$ et de $x\mapsto\mathrm{e}^{-2x}$, deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$. On dérive à nouveau avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, avec $u(x)=1-2x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-2x}$ :

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-2x}>0$ : $f''(x)$ a donc le signe de $4x-4=4(x-1)$.

Pour tout $x<1$, on a $4x-4<0$, donc $f''(x)<0$.

Une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde y est positive. Ici $f''$ est strictement négative sur $]-\infty\,;1[$ : la fonction $f$ est concave sur cet intervalle, et elle n'est pas convexe.

On peut aussi donner un exemple : $f''(0)=-4<0$, avec $0\in\,]-\infty\,;1]$.

Donc l'affirmation 3 est fausse. La fonction $f$ est convexe sur $[1\,;+\infty[$.

Réponse : fausse.

Affirmation 4. Vraie.

Variations de $f$. Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-2x}>0$ : $f'(x)$ a le signe de $1-2x$.

On a $1-2x>0\iff x<\dfrac12$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac12\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$.

Sur $\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$. Pour $x\geqslant\dfrac12$, on a $x>0$ et $\mathrm{e}^{-2x}>0$, donc $f(x)>0$. Ainsi $f(x)\neq-1$ : l'équation $f(x)=-1$ n'a pas de solution sur cet intervalle.

Sur $\left]-\infty\,;\dfrac12\right]$. Calculons la limite de $f$ en $-\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$.

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$, donc par composition $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-2x}=+\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ (il n'y a pas de forme indéterminée).

De plus, $f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12\,\mathrm{e}^{-1}=\dfrac{1}{2\mathrm{e}}>0$.

La fonction $f$ est continue sur $\left]-\infty\,;\dfrac12\right]$ (car dérivable), strictement croissante, et son image est $\left]-\infty\,;\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\right]$. Or $-1\in\left]-\infty\,;\dfrac{1}{2\mathrm{e}}\right]$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(x)=-1$ admet une unique solution dans $\left]-\infty\,;\dfrac12\right]$.

Conclusion. Il n'y a pas de solution sur $\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$ et une seule sur $\left]-\infty\,;\dfrac12\right]$. Donc l'équation $f(x)=-1$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$ : l'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 5. Vraie.

Sur $[0\,;1]$, on a $x\geqslant0$ et $\mathrm{e}^{-2x}>0$, donc $f(x)\geqslant0$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;1]$ : l'aire du domaine (en unités d'aire) est

On intègre par parties : on pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-2x}$, ce qui donne $u'(x)=1$ et $v(x)=-\dfrac12\,\mathrm{e}^{-2x}$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;1]$.

Donc l'aire du domaine est $\dfrac14-\dfrac{3\mathrm{e}^{-2}}{4}$ unités d'aire : l'affirmation 5 est vraie.

Réponse : vraie.

Points clés attendus

• Dériver correctement un produit avec une exponentielle composée, et vérifier l'équation différentielle par substitution.

• Étudier le signe de $f''$ (facteur $\mathrm{e}^{-2x}>0$) pour conclure sur la convexité, et fournir un contre-exemple ou le signe sur tout l'intervalle.

• Pour l'unicité de la solution de $f(x)=-1$ : variations, limite en $-\infty$, positivité de $f$ sur $\left[\frac12\,;+\infty\right[$, puis théorème des valeurs intermédiaires avec continuité et stricte monotonie citées.

• Justifier que $f$ est positive sur $[0\,;1]$ avant d'assimiler l'aire à l'intégrale, puis mener l'intégration par parties en précisant $u$ et $v'$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.