Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2025, Asie : exercice 1

12 juin 2025 · jour 2 · 5 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Toutes les probabilités, sauf indication contraire, seront arrondies à $10^{-3}$ dans cet exercice.

« Le virus du chikungunya, transmis à l'homme par la piqûre du moustique tigre provoque chez les patients des douleurs articulaires aiguës qui peuvent être persistantes. En 2005, une importante épidémie de chikungunya a touché les îles de l'Océan Indien et notamment l'île de La Réunion, avec plusieurs centaines de milliers de cas déclarés. En 2007, la maladie a fait son apparition en Europe, puis fin 2013, aux Antilles et a atteint le continent américain en 2014 ».

(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus.

Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

la probabilité qu'un individu atteint par le virus ait un test positif est de $0,999$
la probabilité qu'un individu non atteint par le virus ait un test positif est de $0,005$ .

On procède à un test de dépistage systématique dans une population cible.

Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :

$M$ l'évènement : « l'individu choisi est atteint du chikungunya ».
$T$ l'évènement : « le test de l'individu choisi est positif ».

On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est supérieure à $0,95$ .

Partie A : Étude d'un exemple

Donner les probabilités $P_{M}(T)$ et $P_{\overline{M}}(T)$ .

« En mars 2005, l'épidémie s'est propagée rapidement dans l'ile de La Réunion, avec une flambée importante entre fin avril et début juin puis une persistance de la transmission virale durant l'hiver austral. Au total, $270000$ personnes ont été infectées pour une population totale de $750000$ individus ».
(https://www.pasteur.fr/fr/centre-medical/fiches-maladies/chikungunya)

Fin 2005, le laboratoire a effectué un test de dépistage massif de la population de l'île de La Réunion.

Dans cette partie, la population cible est donc la population de l'ile de La Réunion.

Donner la valeur exacte de $P(M)$ .
Recopier et compléter l'arbre pondéré donné ci-dessous.
Calculer la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif.
Calculer la probabilité qu'un individu ait un test positif.
Calculer la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus.
Peut-on estimer que ce test est fiable? Argumenter.

Partie B : Dépistage sur une population cible

Dans cette partie, on note $p$ la proportion de personnes atteintes par le virus du chikungunya dans une population cible.
On cherche ici à tester la fiabilité du test de ce laboratoire en fonction de $p$ .

Recopier, en l'adaptant, l'arbre pondéré de la question A3 en tenant compte des nouvelles données.
Exprimer la probabilité $P(T)$ en fonction de $p$ .
Montrer que $P_{T}(M) = \dfrac{999 p}{994 p+5}$ .
Pour quelles valeurs de $p$ peut-on considérer que ce test est fiable ?

Partie C : Étude sur un échantillon

Pendant l'épidémie, on admet que la probabilité d'être atteint du chikungunya sur l'ile de La Réunion est de $0,36$ .

On considère un échantillon de $n$ individus choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant le nombre d'individus infectés dans cet échantillon parmi les $n$ tirés au sort.

On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,36$ .

Déterminer à partir de combien d'individus $n$ la probabilité de l'évènement « au moins un des $n$ habitants de cet échantillon est atteint par le virus » est supérieure à $0,99$ . Expliquer la démarche.

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

Le laboratoire indique que la probabilité qu'un individu atteint ait un test positif est $0{,}999$ .

C'est la probabilité de $T$ sachant $M$ :

P_{M}(T)=0{,}999.

Le laboratoire indique aussi que la probabilité qu'un individu non atteint ait un test positif est $0{,}005$ .

C'est la probabilité de $T$ sachant $\overline{M}$ :

P_{\overline{M}}(T)=0{,}005.

Réponse : $P_{M}(T)=0{,}999$ et $P_{\overline{M}}(T)=0{,}005$ .

Question 2.

La population de La Réunion compte $750\,000$ individus, dont $270\,000$ ont été infectés.

L'individu étant choisi au hasard dans cette population, on est dans une situation d'équiprobabilité.

Donc

P(M)=\dfrac{270\,000}{750\,000}=\dfrac{27}{75}=\dfrac{9}{25}.

Donc la probabilité qu'un habitant de La Réunion soit atteint est $\dfrac{9}{25}$ (soit $0{,}36$ ).

Réponse : $P(M)=\dfrac{9}{25}=0{,}36$ .

Question 3.

On a $P(M)=0{,}36$ , donc

P(\overline{M})=1-P(M)=1-0{,}36=0{,}64.

Les probabilités conditionnelles issues de $M$ sont

P_M(T)=0{,}999\qquad\text{et}\qquad P_M(\overline{T})=1-0{,}999=0{,}001.

Les probabilités conditionnelles issues de $\overline{M}$ sont

P_{\overline{M}}(T)=0{,}005\qquad\text{et}\qquad P_{\overline{M}}(\overline{T})=1-0{,}005=0{,}995.

L'arbre pondéré se complète donc ainsi (la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ ) :

branches issues de la racine : vers $M$ avec $0{,}36$ , vers $\overline{M}$ avec $0{,}64$
branches issues de $M$ : vers $T$ avec $0{,}999$ , vers $\overline{T}$ avec $0{,}001$
branches issues de $\overline{M}$ : vers $T$ avec $0{,}005$ , vers $\overline{T}$ avec $0{,}995$ .

Question 4.

On cherche $P(M\cap T)$ .

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T).

Donc

P(M\cap T)=0{,}36\times 0{,}999=0{,}359\,64.

Arrondie au millième, cette valeur est $0{,}360$ .

Donc la probabilité qu'un individu soit atteint par le virus et ait un test positif est environ $0{,}360$ .

Réponse : $P(M\cap T)=0{,}359\,64\approx 0{,}360$ .

Question 5.

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier).

D'après la formule des probabilités totales,

P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T).

On calcule

P(\overline{M}\cap T)=P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T)=0{,}64\times 0{,}005=0{,}003\,2.

Donc

P(T)=0{,}359\,64+0{,}003\,2=0{,}362\,84.

Arrondie au millième, cette valeur est $0{,}363$ .

Donc la probabilité qu'un individu ait un test positif est environ $0{,}363$ .

Réponse : $P(T)=0{,}362\,84\approx 0{,}363$ .

Question 6.

On cherche la probabilité qu'un individu soit atteint sachant que son test est positif, c'est-à-dire $P_T(M)$ .

Comme $P(T)\neq 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle donne

P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}.

Donc

P_T(M)=\dfrac{0{,}359\,64}{0{,}362\,84}=\dfrac{35\,964}{36\,284}=\dfrac{8991}{9071}.

Arrondie au millième, cette valeur est $0{,}991$ .

Donc la probabilité qu'un individu ayant un test positif soit atteint par le virus est environ $0{,}991$ .

Réponse : $P_T(M)=\dfrac{8991}{9071}\approx 0{,}991$ .

Question 7.

Le test est considéré comme fiable lorsque $P_T(M)>0{,}95$ .

On a obtenu $P_T(M)\approx 0{,}991$ , et $0{,}991>0{,}95$ .

Donc, pour la population de La Réunion, on peut estimer que ce test est fiable.

Réponse : oui, le test est fiable, car $P_T(M)\approx 0{,}991>0{,}95$ .

Partie B

Question 1.

Ici $P(M)=p$ , donc $P(\overline{M})=1-p$ .

Les données du laboratoire ne dépendent pas de la population : les probabilités conditionnelles sont celles de la partie A.

L'arbre est donc le même qu'à la question A3, avec les pondérations suivantes :

branches issues de la racine : vers $M$ avec $p$ , vers $\overline{M}$ avec $1-p$
branches issues de $M$ : vers $T$ avec $0{,}999$ , vers $\overline{T}$ avec $0{,}001$
branches issues de $\overline{M}$ : vers $T$ avec $0{,}005$ , vers $\overline{T}$ avec $0{,}995$ .

Question 2.

Les évènements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

P(T)=P(M)\times P_M(T)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T).

Donc

\begin{aligned} P(T)&=p\times 0{,}999+(1-p)\times 0{,}005\\ &=0{,}999\,p+0{,}005-0{,}005\,p\\ &=0{,}994\,p+0{,}005. \end{aligned}

Réponse : $P(T)=0{,}994\,p+0{,}005$ .

Question 3.

On a

P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T)=0{,}999\,p.

Pour $p\in[0\,;1]$ , on a $P(T)=0{,}994\,p+0{,}005>0$ , donc $P_T(M)$ est bien défini et

P_T(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0{,}999\,p}{0{,}994\,p+0{,}005}.

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $1000$ :

P_T(M)=\dfrac{999\,p}{994\,p+5}.

Donc $P_T(M)=\dfrac{999\,p}{994\,p+5}$ .

Question 4.

Le test est fiable lorsque $P_T(M)>0{,}95$ , c'est-à-dire lorsque

\dfrac{999\,p}{994\,p+5}>0{,}95.

Pour $p\in[0\,;1]$ , le dénominateur $994\,p+5$ est strictement positif.

On peut donc multiplier les deux membres par $994\,p+5$ sans changer le sens de l'inégalité :

\begin{aligned} \dfrac{999\,p}{994\,p+5}>0{,}95&\iff 999\,p>0{,}95\,(994\,p+5)\\ &\iff 999\,p>944{,}3\,p+4{,}75\\ &\iff 54{,}7\,p>4{,}75\\ &\iff p>\dfrac{4{,}75}{54{,}7}=\dfrac{475}{5470}=\dfrac{95}{1094}. \end{aligned}

On a $\dfrac{95}{1094}\approx 0{,}087$ .

Donc le test est fiable si et seulement si $p>\dfrac{95}{1094}$ , soit $p>0{,}087$ environ.

Réponse : le test est fiable pour $p>\dfrac{95}{1094}\approx 0{,}087$ .

Partie C

On note $A_n$ l'évènement « au moins un des $n$ individus de l'échantillon est atteint par le virus ».

Le tirage est assimilé à un tirage avec remise : on répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli « l'individu est infecté » de probabilité $p=0{,}36$ .

Donc $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}36)$ , ce que l'énoncé admet.

L'évènement contraire de $A_n$ est $\{X=0\}$ : aucun individu n'est infecté.

Donc

P(A_n)=1-P(X=0)=1-\binom{n}{0}\times 0{,}36^0\times 0{,}64^{n}=1-0{,}64^{n}.

On cherche les entiers $n$ tels que $P(A_n)>0{,}99$ :

1-0{,}64^{n}>0{,}99\iff 0{,}64^{n}<0{,}01.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}64^{n}<0{,}01\iff n\ln(0{,}64)<\ln(0{,}01).

Comme $0<0{,}64<1$ , on a $\ln(0{,}64)<0$ .

En divisant par $\ln(0{,}64)$ , le sens de l'inégalité change :

n>\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}64)}\approx 10{,}3.

Le plus petit entier $n$ convenable est donc $11$ .

Vérification à la calculatrice :

pour $n=10$ : $1-0{,}64^{10}\approx 0{,}9885<0{,}99$
pour $n=11$ : $1-0{,}64^{11}\approx 0{,}9926>0{,}99$ .

Donc il faut un échantillon d'au moins $11$ individus pour que la probabilité qu'au moins un habitant de l'échantillon soit atteint dépasse $0{,}99$ .

Réponse : $n\geqslant 11$ .

Points clés attendus

Traduire les données de l'énoncé en probabilités conditionnelles ( $P_M(T)$ , $P_{\overline{M}}(T)$ ) et nommer les évènements.
Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{M\,;\overline{M}\}$ , puis la définition de $P_T(M)$ .
Arrondir comme demandé (au millième) et conclure sur la fiabilité en comparant $P_T(M)$ à $0{,}95$ .
Pour $P_T(M)=\dfrac{999\,p}{994\,p+5}$ , justifier le signe du dénominateur avant de résoudre l'inéquation.
En partie C, passer par l'évènement contraire $\{X=0\}$ , utiliser la stricte croissance de $\ln$ et le signe de $\ln(0{,}64)$ pour résoudre.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Asie, 12 juin 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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