Bac 2025, Asie : exercice 3

Partie A

Question 1. On a $u_1=2$ et $u_{n+1}=2+0{,}8\,u_n$. Donc

Réponse : $u_2=3{,}6$.

Question 2. Pour tout entier $n\geqslant1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $u_n=10-8\times0{,}8^{n-1}$.

Initialisation. Pour $n=1$, on a $10-8\times0{,}8^{0}=10-8=2=u_1$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geqslant1$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n=10-8\times0{,}8^{n-1}$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(n+1)$.

D'après la relation de récurrence puis l'hypothèse de récurrence,

C'est exactement $\mathcal{P}(n+1)$, qui est donc vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier $n\geqslant1$,

Question 3. On a $0{,}8^{n-1}=\dfrac{0{,}8^{n}}{0{,}8}$. Comme $-1<0{,}8<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n}=0$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}8^{n-1}=0$.

Par produit et somme de limites,

Interprétation : lorsque le nombre de prises devient très grand, la quantité de médicament présente dans l'organisme se rapproche de $10$ ml.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=10$.

Question 4. Soit $N$ un entier strictement positif. D'après la question 2,

Or une puissance de $0{,}8$ est strictement positive : $0{,}8^{N-1}>0$. L'inéquation $0{,}8^{N-1}\leqslant0$ n'a donc aucune solution.

Donc l'inéquation $u_N\geqslant10$ n'admet aucune solution.

Interprétation : quel que soit le nombre de prises, la quantité de médicament présente dans l'organisme n'atteint jamais $10$ ml, qui est la limite de la suite.

Réponse : aucune solution.

Question 5. Soit $n$ un entier strictement positif. On a

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc elle conserve l'ordre :

Comme $0{,}8\in\,]0\,;1[$, on a $\ln0{,}8<0$. En divisant par ce nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité :

La calculatrice donne $\dfrac{\ln\left(\frac18\right)}{\ln0{,}8}\approx9{,}32$, donc $n>10{,}32$ : l'entier $n$ doit vérifier $n\geqslant11$.

Vérification : $u_{10}=10-8\times0{,}8^{9}\approx8{,}93<9$ et $u_{11}=10-8\times0{,}8^{10}\approx9{,}14>9$.

Donc la quantité de médicament présente dans l'organisme est strictement supérieure à $9$ ml à partir de la $11^{\text{e}}$ prise.

Réponse : à partir de $n=11$ prises.

Partie B

Question 1. On a

Réponse : $S_2=2{,}8$.

Question 2. Soit $n\geqslant1$. D'après la question 2 de la partie A,

La somme $\sum\limits_{k=1}^{n}0{,}8^{k-1}=1+0{,}8+\dots+0{,}8^{n-1}$ est la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $0{,}8\neq1$. Donc

D'où

Donc, pour tout entier $n\geqslant1$, $u_1+u_2+\dots+u_n=10n-40+40\times0{,}8^{n}$.

Question 3. D'après la question précédente, pour tout $n\geqslant1$,

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{40}{n}=0$.

Pour le dernier terme, $0\leqslant\dfrac{40\times0{,}8^{n}}{n}\leqslant40\times0{,}8^{n}$ pour $n\geqslant1$, et $\lim\limits_{n\to+\infty}40\times0{,}8^{n}=0$ car $-1<0{,}8<1$. D'après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{40\times0{,}8^{n}}{n}=0$.

Par somme de limites,

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=10$.

Question 4. Dans la fonction mystere, la variable n vaut $1$ et la variable s vaut $2=S_1$ au départ. À chaque passage dans la boucle, n augmente de $1$ et, d'après la question 2, la ligne 6 donne s $=10-\dfrac{40}{n}+\dfrac{40\times0{,}8^{n}}{n}=S_n$.

La boucle s'arrête dès que s $\geqslant9$, et la fonction renvoie la valeur de n à cet instant : c'est le plus petit entier $n$ tel que $S_n\geqslant9$.

Donc mystere(9) renvoie le nombre minimal de prises à partir duquel la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du patient est supérieure ou égale à $9$ ml.

Réponse : le plus petit entier $n$ tel que $S_n\geqslant9$.

Question 5. Calculons $S_{10}$ :

Donc $S_{10}<9$.

La suite $(S_n)$ est croissante (propriété admise). Donc, pour tout entier $n$ tel que $1\leqslant n\leqslant10$, on a $S_n\leqslant S_{10}<9$.

Ainsi aucun entier $n\leqslant10$ ne vérifie $S_n\geqslant9$. Le plus petit entier $n$ tel que $S_n\geqslant9$, qui est la valeur renvoyée par mystere(9), est donc strictement supérieur à $10$.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée en trois temps (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence énoncée, conclusion), en partant de $n=1$.

• Limite de $0{,}8^{n}$ justifiée par $-1<0{,}8<1$, puis interprétation dans le contexte (jamais $10$ ml atteint).

• Résolution de $0{,}8^{n-1}<\frac18$ avec la fonction $\ln$, en changeant le sens de l'inégalité car $\ln0{,}8<0$.

• Somme géométrique avec le bon premier terme, la bonne raison et le bon nombre de termes.

• Lecture de l'algorithme : la ligne 6 calcule $S_n$   utiliser la croissance admise de $(S_n)$ et la valeur de $S_{10}$ pour conclure.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.