Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 4

22 mai 2025 · jour 2 · sujet de secours · 5 points

Chapitre 1 : Suites

L'objectif de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\left\{\begin{array}{l} u_{0}=0\\ u_{1}=\dfrac{1}{2}\\ u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{1}{4}u_{n} \end{array}\right.

Partie A : Conjecture

Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Aucune justification n'est demandée.

$n$ 0 1 2 3 4 5
$u_{n}$ 0 $\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{2}$
[6pt]
Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

Partie B : Étude d'une suite auxiliaire

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par:

w_{n}=u_{n+1}-\dfrac{1}{2} u_{n}

Calculer $w_{0}$ .
Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ .
Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $w_{n}$ en fonction de $n$ .
Montrer que pour tout entier naturel $n$ , on a :

$u_{n+1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2} u_{n}$
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n}=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ .

Partie C : Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$

Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $n = 1$ .
En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente sans chercher à calculer la valeur de la limite.
On admet que la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ est solution de l'équation : $\ell=\ell-\dfrac{1}{4} \ell$ .

Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ .

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On utilise la relation de récurrence $u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac14u_n$ .

\begin{aligned} u_3&=u_2-\dfrac14u_1=\dfrac12-\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac12-\dfrac18=\dfrac38,\\ u_4&=u_3-\dfrac14u_2=\dfrac38-\dfrac14\times\dfrac12=\dfrac38-\dfrac18=\dfrac28=\dfrac14,\\ u_5&=u_4-\dfrac14u_3=\dfrac14-\dfrac14\times\dfrac38=\dfrac14-\dfrac3{32}=\dfrac8{32}-\dfrac3{32}=\dfrac5{32}. \end{aligned}

Donc le tableau complété est :

$u_0=0$ , $u_1=\dfrac12$ , $u_2=\dfrac12$
$u_3=\dfrac38$ , $u_4=\dfrac14$ , $u_5=\dfrac5{32}$ .

Réponse : $u_3=\dfrac38$ , $u_4=\dfrac14$ , $u_5=\dfrac5{32}$ .

Question 2.

À partir de $n=2$ , les valeurs $\dfrac12$ , $\dfrac38$ , $\dfrac14$ , $\dfrac5{32}$ sont décroissantes et se rapprochent de $0$ .

Donc on conjecture que la suite $(u_n)$ converge vers $0$ .

Partie B

Question 1.

\begin{aligned} w_0&=u_1-\dfrac12u_0\\ &=\dfrac12-\dfrac12\times0\\ &=\dfrac12. \end{aligned}

Réponse : $w_0=\dfrac12$ .

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$ , on remplace $u_{n+2}$ par son expression :

\begin{aligned} w_{n+1}&=u_{n+2}-\dfrac12u_{n+1}\\ &=\left(u_{n+1}-\dfrac14u_n\right)-\dfrac12u_{n+1}\\ &=\dfrac12u_{n+1}-\dfrac14u_n\\ &=\dfrac12\left(u_{n+1}-\dfrac12u_n\right)\\ &=\dfrac12w_n. \end{aligned}

Donc, pour tout entier naturel $n$ , $w_{n+1}=\dfrac12w_n$ .

La suite $(w_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac12$ et de premier terme $w_0=\dfrac12$ .

Question 3.

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $w_0$ et de raison $q$ est $w_n=w_0\,q^n$ .

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

w_n=\dfrac12\times\left(\dfrac12\right)^n=\left(\dfrac12\right)^{n+1}.

Réponse : $w_n=\left(\dfrac12\right)^{n+1}$ .

Question 4.

Par définition, $w_n=u_{n+1}-\dfrac12u_n$ .

Donc $u_{n+1}=w_n+\dfrac12u_n$ , et d'après la question 3 :

u_{n+1}=\left(\dfrac12\right)^{n+1}+\dfrac12u_n.

Donc, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=\left(\dfrac12\right)^{n+1}+\dfrac12u_n$ .

Question 5.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : « $u_n=n\left(\dfrac12\right)^n$ ».

Initialisation. On a $u_0=0$ et $0\times\left(\dfrac12\right)^0=0$ . Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k=k\left(\dfrac12\right)^k$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$ .

D'après la question 4, appliquée à $n=k$ :

\begin{aligned} u_{k+1}&=\left(\dfrac12\right)^{k+1}+\dfrac12u_k\\ &=\left(\dfrac12\right)^{k+1}+\dfrac12\times k\left(\dfrac12\right)^k\quad\text{(hypothèse de récurrence)}\\ &=\left(\dfrac12\right)^{k+1}+k\left(\dfrac12\right)^{k+1}\\ &=(k+1)\left(\dfrac12\right)^{k+1}. \end{aligned}

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. La propriété $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $u_n=n\left(\dfrac12\right)^n$ .

Partie C

Question 1.

Pour tout entier naturel $n$ :

\begin{aligned} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{n}{2^n}\\ &=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}-\dfrac{2n}{2^{n+1}}\\ &=\dfrac{1-n}{2^{n+1}}. \end{aligned}

Pour $n\geqslant1$ , on a $1-n\leqslant0$ et $2^{n+1}>0$ , donc $u_{n+1}-u_n\leqslant0$ .

Donc la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n=1$ .

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$ , $u_n=n\left(\dfrac12\right)^n\geqslant0$ comme produit de deux nombres positifs ou nuls : la suite $(u_n)$ est minorée par $0$ .

La suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $1$ (question 1) et minorée par $0$ .

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 3.

La suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ qui vérifie, d'après l'énoncé, $\ell=\ell-\dfrac14\ell$ .

Alors

\begin{aligned} \ell&=\ell-\dfrac14\ell\\ \dfrac14\ell&=0\\ \ell&=0. \end{aligned}

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$ , ce qui confirme la conjecture de la partie A.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$ .

Points clés attendus

Suite géométrique : calculer $w_{n+1}$ en fonction de $w_n$ en éliminant $u_{n+2}$ , et conclure avec raison et premier terme.
Récurrence rédigée en trois temps : initialisation, hérédité (avec l'hypothèse de récurrence énoncée et utilisée), conclusion.
Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en précisant que la décroissance n'a lieu qu'à partir du rang $1$ .
Théorème de convergence monotone : citer les deux hypothèses (décroissante, minorée).
Limite : résoudre l'équation vérifiée par $\ell$ seulement après avoir établi la convergence.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 1 · 5 points · Dérivation et convexité · Calcul intégral · Limites de fonctions
Exercice 2 · 5 points · Orthogonalité et distances dans l'espace · Vecteurs, droites et plans de l'espace
Exercice 3 · 5 points · Succession d'épreuves et loi binomiale

Revoir le cours

Chapitre 1 : Suites : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Nord, 22 mai 2025 (jour 2), sujet de secours), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte

$n$	0	1	2	3	4	5
$u_{n}$	0	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
[6pt]