Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 1

Partie A

Question 1.

Limite en $-\infty$.

Posons $X=-x$. Quand $x\to-\infty$, $X\to+\infty$, donc $\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{X}\to+\infty$ (limite d'une composée).

Le facteur $x$ tend vers $-\infty$ et le facteur $\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $+\infty$ : par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^{-x}=-\infty$.

De plus $\lim\limits_{x\to-\infty}(2x-1)=-\infty$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Limite en $+\infty$.

Pour tout réel $x$, $x\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$.

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-1)=+\infty$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (énoncé).

On dérive $x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=x$, $u'(x)=1$, $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ (dérivée d'une composée $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=-x$).

Pour tout réel $x$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}+2$.

Réponse : $f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{-x}+2$.

Question 3.

La fonction $f'$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (énoncé : $f$ est deux fois dérivable).

On dérive $x\mapsto(1-x)\mathrm{e}^{-x}$ avec $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=1-x$, $u'(x)=-1$, $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$.

Pour tout réel $x$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f''(x)=(x-2)\mathrm{e}^{-x}$.

Question 4.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$. Donc $f''(x)$ a le même signe que $x-2$.

• Pour $x<2$, $x-2<0$, donc $f''(x)<0$.

• Pour $x=2$, $f''(2)=0$.

• Pour $x>2$, $x-2>0$, donc $f''(x)>0$.

Une fonction dont la dérivée seconde est négative sur un intervalle y est concave, et convexe si elle est positive.

Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$ et convexe sur $[2\,;+\infty[$. La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $2$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse $2$.

Question 5.

La dérivée de $f'$ est $f''$. D'après la question 4, $f''\leqslant0$ sur $]-\infty\,;2]$ et $f''\geqslant0$ sur $[2\,;+\infty[$, et $f''$ ne s'annule qu'en $2$.

Donc $f'$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;2]$ et strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$.

La fonction $f'$ admet donc un minimum en $x=2$, de valeur

Tableau de variations de $f'$ : la fonction $f'$ décroît sur $]-\infty\,;2]$ jusqu'à son minimum $2-\mathrm{e}^{-2}$ atteint en $x=2$, puis elle croît sur $[2\,;+\infty[$.

Réponse : $f'$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$, et son minimum est $f'(2)=2-\mathrm{e}^{-2}$.

Question 6.

On a $\mathrm{e}^{-2}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2}}$ avec $\mathrm{e}^{2}>1$, donc $0<\mathrm{e}^{-2}<1$.

Donc $f'(2)=2-\mathrm{e}^{-2}>2-1=1>0$.

Le minimum de $f'$ sur $\mathbb{R}$ est strictement positif : pour tout réel $x$, $f'(x)\geqslant f'(2)>0$.

Ainsi $f'(x)>0$ pour tout réel $x$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive sur $\mathbb{R}$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Réponse : $f'(x)>0$ sur $\mathbb{R}$ et $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Question 7.

On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection). Vérifions ses hypothèses.

• La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc continue sur $\mathbb{R}$.

• La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (question 6).

• $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ (question 1), donc $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$.

Le réel $0$ appartient à $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$. Donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

Encadrement. À la calculatrice :

Donc $f(0{,}37)<f(\alpha)<f(0{,}38)$. Comme $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, on en déduit $0{,}37<\alpha<0{,}38$.

Donc il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$, et $0{,}37<\alpha<0{,}38$.

Réponse : $0{,}37<\alpha<0{,}38$.

Question 8.

Pour tout réel $x$ :

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, la différence $f(x)-(2x-1)$ a le signe de $x$.

• Pour $x<0$, $f(x)-(2x-1)<0$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\Delta$.

• Pour $x>0$, $f(x)-(2x-1)>0$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$.

• Pour $x=0$, $f(0)-(2\times0-1)=0$ : la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta$ se coupent au point de coordonnées $(0\,;-1)$.

Donc $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\Delta$ sur $]-\infty\,;0[$, au-dessus de $\Delta$ sur $]0\,;+\infty[$, et coupe $\Delta$ au point $(0\,;-1)$.

Partie B

Question 1.

On intègre par parties sur $[1\,;n]$ : $\displaystyle\int_1^n u(x)v'(x)\,\mathrm{d}x=\Big[u(x)v(x)\Big]_1^n-\int_1^n u'(x)v(x)\,\mathrm{d}x$.

On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\mathrm{e}^{-x}$, d'où $u'(x)=1$ et $v(x)=-\mathrm{e}^{-x}$. Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[1\,;n]$.

Alors

Donc $I_n=2\mathrm{e}^{-1}-(n+1)\mathrm{e}^{-n}$.

Réponse : $I_n=2\mathrm{e}^{-1}-(n+1)\mathrm{e}^{-n}$.

Question 2. a)

D'après la partie A (question 8), pour tout $x\in[1\,;n]$, $f(x)-(2x-1)=x\mathrm{e}^{-x}\geqslant0$ : sur $[1\,;n]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite $\Delta$.

Les fonctions $f$ et $x\mapsto2x-1$ sont continues sur $[1\,;n]$. L'aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x=1$ et $x=n$ est donc, en unités d'aire,

Pour $n=1$, le domaine est réduit à un segment, d'aire nulle, ce qui est cohérent avec $I_1=0$.

Donc l'aire du domaine $D_n$ est $I_n$.

Question 2. b)

On a $I_n=2\mathrm{e}^{-1}-n\mathrm{e}^{-n}-\mathrm{e}^{-n}$.

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{n\to+\infty}n\mathrm{e}^{-n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{\mathrm{e}^{n}}=0$.

De plus $\lim\limits_{n\to+\infty}\mathrm{e}^{-n}=0$.

Par somme, $\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)\mathrm{e}^{-n}=0$, donc

Donc l'aire de $D_n$ tend vers $\dfrac{2}{\mathrm{e}}\approx0{,}736$ unité d'aire quand $n$ tend vers $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n=\dfrac{2}{\mathrm{e}}\approx0{,}736$.

Points clés attendus

• Lever les formes indéterminées par le théorème des croissances comparées, en réécrivant $x\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$.

• Étudier la convexité par le signe de $f''$, puis déduire le signe de $f'$ du minimum de $f'$.

• Pour l'unicité de $\alpha$ : citer le théorème de la bijection (continuité, stricte monotonie, limites aux bornes).

• Étudier la position relative par le signe de $f(x)-(2x-1)$.

• Intégration par parties : poser $u$ et $v'$, vérifier que $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$, puis justifier que l'aire est bien $I_n$ grâce au signe de $f(x)-(2x-1)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.