Bac 2024, Polynésie : exercice 2

Affirmation A. Vraie.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables, et pour tout réel $x$ :

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$, donc $f'(x)>1>0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limite en $-\infty$ : $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$, donc par somme $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.

Limite en $+\infty$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$, donc par somme $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Le tableau proposé (flèche croissante de $-\infty$ à $+\infty$) est donc correct : l'affirmation A est vraie.

Affirmation B. Fausse.

D'après la question précédente, $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, avec $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Donc $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $]-\infty\,;+\infty[=\mathbb{R}$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), pour tout réel $k$, l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$. Le réel $-2$ appartient à $\mathbb{R}$ : l'équation $f(x)=-2$ admet donc exactement une solution, et non deux.

L'affirmation B est fausse.

Affirmation C. Vraie.

Pour $x>0$, on divise chaque terme du numérateur par $x^2$ :

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0$.

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x^2}=0$.

Par somme et produit de limites :

L'affirmation C est vraie.

Affirmation D. Fausse.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x^2+1}>0$ (une exponentielle est strictement positive), donc

La fonction $k$ étant continue sur $\mathbb{R}$, elle admet des primitives. Soit $K$ l'une d'elles : $K$ est dérivable et $K'=k$. Donc $K'(x)>0$ pour tout réel $x$ : toute primitive de $k$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Aucune primitive de $k$ n'est donc décroissante sur $\mathbb{R}$ : l'affirmation D est fausse.

Affirmation E. Vraie.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $x$, par dérivation d'une composée de la forme $\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=-\dfrac13x$ :

On calcule alors :

La fonction $g$ vérifie $(E)$ sur $\mathbb{R}$. De plus

L'affirmation E est vraie.

Affirmation F. Vraie.

On intègre par parties. On pose, pour $x\in[0\,;1]$ :

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;1]$, donc

On calcule chaque terme :

Donc

L'affirmation F est vraie.

Points clés attendus

• Affirmation A : dérivée, signe, et les deux limites aux bornes.

• Affirmation B : citer le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection) avec continuité, stricte monotonie et limites.

• Affirmation C : factoriser par $x^2$ et citer les croissances comparées.

• Affirmation D : une primitive a pour dérivée $k>0$, donc elle est croissante.

• Affirmations E et F : vérifier l'équation différentielle et la condition initiale par le calcul, puis conduire l'intégration par parties avec le choix de $u$ et $v$ explicité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.