Bac 2024, Polynésie : exercice 3

Partie A

Question 1.

Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la pièce retombe du côté Face », de probabilité $\dfrac12$ car la pièce est équilibrée.

Les trois lancers sont identiques et indépendants. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac12$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}\left(3\,;\dfrac12\right)$.

Question 2.

Pour $k\in\{0\,;1\,;2\,;3\}$,

Avec $\binom30=1$, $\binom31=3$, $\binom32=3$ et $\binom33=1$ :

• $P(X=0)=\dfrac18$

• $P(X=1)=\dfrac38$

• $P(X=2)=\dfrac38$

• $P(X=3)=\dfrac18$.

Donc le tableau est : $P(X=0)=\dfrac18$, $P(X=1)=\dfrac38$, $P(X=2)=\dfrac38$, $P(X=3)=\dfrac18$. La somme vaut bien $1$.

Partie B

Question 1.

Si l'évènement $A_1$ est réalisé, une pièce est tombée du côté Face au premier lancer et elle est conservée. On relance les deux autres pièces.

La partie est gagnée si et seulement si ces deux pièces retombent du côté Face. Les deux lancers sont indépendants et chacun donne Face avec la probabilité $\dfrac12$. Donc

Question 2.

Les probabilités des branches $A_k$ sont données par la loi de $X$ : $\dfrac18$, $\dfrac38$, $\dfrac38$, $\dfrac18$.

On détermine les probabilités conditionnelles de $G$ : si $A_k$ est réalisé, on relance les $3-k$ pièces tombées sur Pile, et la partie est gagnée si toutes tombent sur Face.

• $P_{A_0}(G)=\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$ et $P_{A_0}(\overline{G})=1-\dfrac18=\dfrac78$

• $P_{A_1}(G)=\dfrac14$ et $P_{A_1}(\overline{G})=1-\dfrac14=\dfrac34$

• $P_{A_2}(G)=\dfrac12$ (une seule pièce à relancer) et $P_{A_2}(\overline{G})=\dfrac12$

• $P_{A_3}(G)=1$ (les trois pièces sont déjà sur Face, la partie est gagnée).

Ce sont les pondérations à inscrire sur les branches de $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ vers $G$ et $\overline{G}$.

Question 3.

Les évènements $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ sont incompatibles deux à deux et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

On remplace :

On met au dénominateur $64$ :

Donc la probabilité de gagner à ce jeu est $p=\dfrac{27}{64}$.

Question 4.

On cherche $P_G(A_1)$. Comme $P(G)=\dfrac{27}{64}\neq 0$,

On a $P(A_1\cap G)=P(A_1)\times P_{A_1}(G)=\dfrac38\times\dfrac14=\dfrac{3}{32}=\dfrac{6}{64}$. Donc

Donc, sachant que la partie est gagnée, la probabilité qu'exactement une pièce soit tombée du côté Face à la première tentative est $\dfrac29$.

Réponse : $\dfrac29$.

Question 5.

On joue $n$ parties, identiques et indépendantes, chacune étant gagnée avec la probabilité $p=\dfrac{27}{64}$ et perdue avec la probabilité $1-p=\dfrac{37}{64}$.

L'évènement « gagner au moins une partie » est le contraire de « perdre les $n$ parties ». Par indépendance, la probabilité de perdre les $n$ parties est $\left(\dfrac{37}{64}\right)^n$. Donc la probabilité de gagner au moins une partie est

On cherche le plus petit entier $n$ tel que

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $\dfrac{37}{64}<1$, on a $\ln\dfrac{37}{64}<0$. En divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité change :

Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est $n=6$.

Vérification à la calculatrice : $1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^5\approx 0{,}935<0{,}95$ et $1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^6\approx 0{,}963>0{,}95$.

Donc il faut jouer au moins $6$ fois pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0{,}95$.

Réponse : $n=6$.

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale : trois lancers identiques et indépendants, de probabilité $\dfrac12$.

• Déterminer les probabilités conditionnelles $P_{A_k}(G)$ en comptant les pièces relancées.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A_0\,;A_1\,;A_2\,;A_3\}$, puis donner la fraction irréductible demandée.

• Pour la question 4, calculer $P_G(A_1)$ (probabilité conditionnelle « à l'envers ») avec $P(A_1\cap G)$ et $P(G)$.

• Seuil : écrire $1-\left(\dfrac{37}{64}\right)^n>0{,}95$, utiliser le logarithme et penser au changement de sens de l'inégalité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.