Bac 2024, Polynésie : exercice 2

Partie A

Question 1.

L'équation $(E)$ s'écrit $y'+0{,}02\,y=m$, soit $y'=-0{,}02\,y+m$.

Équation homogène. Les solutions de $y'+0{,}02\,y=0$ sont les fonctions $t\mapsto k\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}$, avec $k$ réel.

Solution particulière. La fonction constante $y_p(t)=50m$ est solution de $(E)$ : $y_p'=0$ et

Les solutions de $(E)$ sont la somme d'une solution particulière et des solutions de l'équation homogène :

Donc l'affichage du logiciel de calcul formel est justifié.

Question 2.

La fonction $f$ est de la forme $f(t)=k\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}+50m$.

On a $\lim\limits_{t\to+\infty}\left(-0{,}02t\right)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$. Donc $\lim\limits_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-0{,}02t}=0$, puis

D'après l'énoncé, cette limite vaut $30$. Donc $50m=30$, soit $m=\dfrac{30}{50}=0{,}6$.

Donc $m=0{,}6$.

Question 3.

Avec $m=0{,}6$, on a $50m=30$ et $f(t)=k\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}+30$.

La condition initiale $f(0)=210$ donne

Donc, pour tout $t\geqslant 0$,

Partie B

Question 1. a)

On cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée $50$. Graphiquement, la courbe passe sous la droite d'équation $y=50$ pour une valeur de $t$ voisine de $110$.

Donc on peut démouler l'objet au bout d'environ $110$ secondes.

Réponse : $T\approx 110$ secondes.

Question 1. b)

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ (c'est $180\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}+30$, avec $\mathrm{e}^{-0{,}02t}$ décroissante). Le temps à attendre est donc la plus petite valeur de $t$ telle que $f(t)<50$.

On résout l'inéquation $f(t)<50$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

La valeur exacte de $T$ est donc $T=50\ln 9$. Comme $\ln 9=2\ln 3$, on a aussi $T=100\ln 3$.

Valeur approchée : $T\approx 109{,}9$ secondes, ce qui est cohérent avec la lecture graphique.

Donc l'objet peut être démoulé au bout de $T=50\ln 9$ secondes, soit environ $109{,}9$ secondes.

Réponse : $T=50\ln 9=100\ln 3\approx 109{,}9$ secondes.

Question 2.

La valeur moyenne de $f$ sur $[0\,;100]$ est

Une primitive de $f$ est $F(t)=\dfrac{180}{-0{,}02}\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}+30t=-9\,000\,\mathrm{e}^{-0{,}02t}+30t$. Donc

D'où

Donc la température moyenne du matériau sur les $100$ premières secondes est $120-90\,\mathrm{e}^{-2}$, soit environ $107{,}8$ degrés Celsius (valeur approchée au dixième).

Réponse : $\mu=120-90\,\mathrm{e}^{-2}\approx 107{,}8\,\,^\circ\mathrm{C}$.

Points clés attendus

• Résoudre l'équation différentielle : solutions de l'équation homogène plus solution particulière constante.

• Utiliser la limite de $\mathrm{e}^{-0{,}02t}$ en $+\infty$ pour trouver $m$, puis la condition initiale pour trouver $k$.

• Pour le temps $T$ : résoudre $f(t)<50$ avec la stricte croissance de $\ln$, et donner la valeur exacte avant l'approximation.

• Écrire la valeur moyenne $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ avec les bonnes bornes et une primitive correcte (facteur $\dfrac{1}{-0{,}02}$).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.