Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration / Annales du bac

Bac 2024, Métropole : exercice 4

11 septembre 2024 · 4 points

Les deux parties sont indépendantes.

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

Partie A

Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2 % des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.

On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$ cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer l'espérance de $N$ et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.
1. Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes.
2. Calculer la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.
Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : « La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5 ».

Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.

Partie B

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève $100$ cachets et on note $M_i$ , pour $i$ entier naturel compris entre 1 et $100$ , la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$ -ème cachet prélevé.

On considère la variable aléatoire $S$ définie par :

S= M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100}.

On admet que les variables aléatoires $M_1$ ,  $M_2$ ,  …,  $M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d'espérance $\mu = 2$ et d'écart-type $\sigma$ .

Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On note $s$ l'écart type de la variable aléatoire $S$ .

Montrer que : $s = 10\sigma$ .
On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à $0,9$ .
1. Montrer que cette condition est équivalente à :
  
  $P \left (\left |S-200 \right | \geqslant 1 \right ) \leqslant 0,1.$
2. En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d'assurer cette condition.Bienaymé-Tchebychev

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Partie A

Question 1.

On prélève au hasard $100$ cachets. Chaque cachet fournit une épreuve de Bernoulli qui n'a que deux issues : « le cachet est non conforme » (succès) de probabilité $p=0{,}02$ , ou « le cachet est conforme » (échec).

Ces $100$ épreuves sont identiques (même probabilité $0{,}02$ ) et indépendantes (la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres, d'après l'énoncé).

La variable aléatoire $N$ compte le nombre de succès dans cette répétition de $100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $N$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}02$ : $N\sim\mathcal{B}(100\;;\;0{,}02)$ .

Question 2.

Pour une loi binomiale, $E(N)=np$ . Donc

E(N)=100\times0{,}02=2.

Interprétation : sur un grand nombre de boîtes de $100$ cachets, une boîte contient en moyenne $2$ cachets non conformes.

Réponse : $E(N)=2$ .

Question 3. a)

Pour une loi binomiale de paramètres $100$ et $0{,}02$ ,

P(N=3)=\binom{100}{3}\times0{,}02^3\times0{,}98^{97}.

À la calculatrice, on obtient $P(N=3)\approx0{,}18228$ .

Donc la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes est, arrondie au millième, $0{,}182$ .

Réponse : $P(N=3)\approx0{,}182$ .

3. b)

Une boîte contient $100$ cachets. Elle contient au moins $95$ cachets conformes si et seulement si elle contient au plus $100-95=5$ cachets non conformes, c'est-à-dire si l'événement $\{N\leqslant5\}$ est réalisé.

On a

P(N\leqslant5)=\sum_{k=0}^{5}\binom{100}{k}\times0{,}02^k\times0{,}98^{100-k}.

À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale), $P(N\leqslant5)\approx0{,}98452$ .

Donc la probabilité qu'une boîte contienne au moins $95$ cachets conformes est, arrondie au millième, $0{,}985$ .

Réponse : $P(N\leqslant5)\approx0{,}985$ .

Question 4.

Considérons une boîte de $n$ cachets. Chaque cachet est conforme avec la probabilité $0{,}98$ , et les cachets sont indépendants. La probabilité qu'ils soient tous conformes est donc $0{,}98^n$ .

On cherche les entiers $n$ tels que $0{,}98^n>0{,}5$ . La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ , donc

0{,}98^n>0{,}5\iff n\ln0{,}98>\ln0{,}5.

On a $\ln0{,}98<0$ : en divisant par ce nombre, le sens de l'inégalité change :

n<\dfrac{\ln0{,}5}{\ln0{,}98}\approx34{,}3.

Les entiers $n$ convenables sont donc ceux inférieurs ou égaux à $34$ . Vérification directe :

0{,}98^{34}\approx0{,}503>0{,}5\qquad\text{et}\qquad0{,}98^{35}\approx0{,}493<0{,}5.

Donc une boîte doit contenir au maximum $34$ cachets pour que la probabilité qu'elle ne contienne que des cachets conformes soit supérieure à $0{,}5$ .

Réponse : $34$ cachets.

Partie B

Question 1.

On a $S=M_1+M_2+\dots+M_{100}$ . Par linéarité de l'espérance,

E(S)=E(M_1)+E(M_2)+\dots+E(M_{100})=100\times\mu=100\times2=200.

Interprétation : la masse totale des $100$ cachets d'une boîte est en moyenne de $200$ grammes.

Réponse : $E(S)=200$ .

Question 2.

Les variables aléatoires $M_1,\dots,M_{100}$ sont indépendantes : la variance de leur somme est la somme de leurs variances. Chacune a pour variance $\sigma^2$ , donc

V(S)=V(M_1)+\dots+V(M_{100})=100\,\sigma^2.

Comme $\sigma\geqslant0$ , l'écart type de $S$ est

s=\sqrt{V(S)}=\sqrt{100\,\sigma^2}=10\,\sigma.

Donc $s=10\sigma$ .

Question 3. a)

On a $E(S)=200$ . Pour tout réel $S$ :

199<S<201\iff-1<S-200<1\iff\left|S-200\right|<1.

La condition « $P(199<S<201)\geqslant0{,}9$ » s'écrit donc $P\left(\left|S-200\right|<1\right)\geqslant0{,}9$ .

Les événements $\{|S-200|<1\}$ et $\{|S-200|\geqslant1\}$ sont contraires, donc

P\left(\left|S-200\right|<1\right)=1-P\left(\left|S-200\right|\geqslant1\right).

D'où

1-P\left(\left|S-200\right|\geqslant1\right)\geqslant0{,}9\iff P\left(\left|S-200\right|\geqslant1\right)\leqslant0{,}1.

Donc la condition est équivalente à $P\left(\left|S-200\right|\geqslant1\right)\leqslant0{,}1$ .

3. b)

La variable aléatoire $S$ a une espérance $E(S)=200$ et une variance $V(S)=100\sigma^2$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $S$ avec $\delta=1>0$ , donne

P\left(\left|S-E(S)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(S)}{\delta^2},

soit

P\left(\left|S-200\right|\geqslant1\right)\leqslant\dfrac{100\,\sigma^2}{1^2}=100\,\sigma^2.

Cette majoration assure la condition de la question 3. a) dès que $100\,\sigma^2\leqslant0{,}1$ . On résout, avec $\sigma\geqslant0$ :

100\,\sigma^2\leqslant0{,}1\iff\sigma^2\leqslant0{,}001\iff\sigma\leqslant\sqrt{0{,}001}=\dfrac{\sqrt{10}}{100}\approx0{,}0316.

Donc la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d'assurer la condition est $\sigma=\dfrac{\sqrt{10}}{100}\approx0{,}0316$ gramme.

Réponse : $\sigma_{\max}=\sqrt{0{,}001}=\dfrac{\sqrt{10}}{100}\approx0{,}0316$ .

Points clés attendus

Loi binomiale : citer les trois éléments (épreuves de Bernoulli, identiques, indépendantes) et donner $n$ et $p$ dans le contexte.
Interpréter l'espérance dans le contexte (moyenne sur un grand nombre de boîtes).
Traduire « au moins $95$ conformes » en « au plus $5$ non conformes » avant d'utiliser la calculatrice.
Résolution de $0{,}98^n>0{,}5$ avec le logarithme, en changeant le sens de l'inégalité (division par $\ln0{,}98<0$ ).
Variance d'une somme de variables indépendantes, et énoncé correct de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $E(S)$ et $V(S)$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration : le cours · exercices type bac corrigés
Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2024 (Métropole, 11 septembre 2024), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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