Bac 2024, Centres étrangers - Suède : exercice 2

Partie A

Question 1. Les données de l'énoncé se traduisent par :

• $P(R_1)=0{,}85$, donc $P(\overline{R_1})=1-0{,}85=0{,}15$

• $P_{R_1}(R_2)=0{,}6$, donc $P_{R_1}(\overline{R_2})=1-0{,}6=0{,}4$

• $P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2})=0{,}6$, donc $P_{\overline{R_1}}(R_2)=1-0{,}6=0{,}4$.

L'arbre pondéré comporte donc deux branches issues de la racine : $R_1$ (pondérée par $0{,}85$) et $\overline{R_1}$ (pondérée par $0{,}15$).

De $R_1$ partent deux branches : $R_2$ (pondérée par $0{,}6$) et $\overline{R_2}$ (pondérée par $0{,}4$).

De $\overline{R_1}$ partent deux branches : $R_2$ (pondérée par $0{,}4$) et $\overline{R_2}$ (pondérée par $0{,}6$).

Question 2. Les évènements $R_1$ et $\overline{R_1}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et de réunion égale à l'univers).

D'après la formule des probabilités totales :

Donc la probabilité que le joueur réussisse le deuxième service est bien $P(R_2)=0{,}57$.

Question 3. On cherche la probabilité que le joueur ait raté le premier service sachant qu'il a réussi le deuxième, c'est-à-dire $P_{R_2}(\overline{R_1})$.

Par définition de la probabilité conditionnelle, comme $P(R_2)\neq0$ :

Or $P(\overline{R_1}\cap R_2)=P(\overline{R_1})\times P_{\overline{R_1}}(R_2)=0{,}15\times0{,}4=0{,}06$, et $P(R_2)=0{,}57$ d'après la question 2. Donc

Donc, sachant que le joueur a réussi le deuxième service, la probabilité qu'il ait raté le premier est $\dfrac{2}{19}$, soit environ $0{,}105$ (arrondie au millième).

Réponse : $P_{R_2}(\overline{R_1})=\dfrac{2}{19}\approx0{,}105$.

Question 4. a) La variable aléatoire $Z$ compte le nombre de services réussis parmi les deux premiers : elle prend les valeurs $0$, $1$ et $2$.

On lit les probabilités sur l'arbre en multipliant les probabilités le long des branches.

Pour $Z=0$, les deux services sont ratés :

Pour $Z=2$, les deux services sont réussis :

Pour $Z=1$, un seul des deux services est réussi : c'est la réunion des deux évènements incompatibles $R_1\cap\overline{R_2}$ et $\overline{R_1}\cap R_2$, donc

Vérification : $0{,}09+0{,}40+0{,}51=1$.

Donc la loi de probabilité de $Z$ est donnée par $P(Z=0)=0{,}09$, $P(Z=1)=0{,}40$ et $P(Z=2)=0{,}51$.

Réponse : $P(Z=0)=0{,}09$   $P(Z=1)=0{,}40$   $P(Z=2)=0{,}51$.

Question 4. b) Par définition de l'espérance :

Interprétation : sur un grand nombre de séances d'entraînement, le joueur réussit en moyenne $1{,}42$ service sur ses deux premiers services.

Réponse : $\mathrm{E}(Z)=1{,}42$.

Partie B

Question 1. a) D'après l'énoncé, si le joueur réussit un service, la probabilité qu'il réussisse le suivant est $0{,}6$   s'il ne réussit pas un service, la probabilité qu'il ne réussisse pas le suivant est $0{,}6$. Donc, pour tout entier $n\geqslant1$ :

On en déduit, par probabilité de l'évènement contraire, $P_{\overline{R_n}}(R_{n+1})=1-0{,}6=0{,}4$.

Réponse : $P_{R_n}(R_{n+1})=0{,}6$ et $P_{\overline{R_n}}(\overline{R_{n+1}})=0{,}6$.

Question 1. b) Soit $n$ un entier naturel non nul. Les évènements $R_n$ et $\overline{R_n}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales, avec $P(R_n)=x_n$ et $P(\overline{R_n})=1-x_n$ :

Donc, pour tout entier naturel non nul $n$, $x_{n+1}=0{,}2\,x_n+0{,}4$.

Question 2. a) Soit $n$ un entier naturel non nul. On exprime $u_{n+1}$ en fonction de $x_n$, puis de $u_n$ :

Le premier terme est $u_1=x_1-0{,}5=0{,}85-0{,}5=0{,}35$.

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0{,}2$ et de premier terme $u_1=0{,}35$.

Question 2. b) Le premier terme étant $u_1$, le terme général d'une suite géométrique donne, pour tout entier $n\geqslant1$ :

Comme $u_n=x_n-0{,}5$, on obtient

On a $-1<0{,}2<1$, donc, d'après la limite d'une suite géométrique de raison comprise strictement entre $-1$ et $1$, $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}2^{\,n-1}=0$.

Par opérations sur les limites :

Donc $x_n=0{,}5+0{,}35\times0{,}2^{\,n-1}$ pour tout $n\geqslant1$, et la suite $(x_n)$ converge vers $0{,}5$.

Réponse : $x_n=0{,}5+0{,}35\times0{,}2^{\,n-1}$   $\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0{,}5$.

Question 2. c) La limite de $(x_n)$ est $0{,}5$ : au bout d'un grand nombre de services, la probabilité que le joueur réussisse le $n$-ième service est proche de $0{,}5$.

Autrement dit, après un grand nombre de services, le joueur a environ une chance sur deux de réussir un service, quel que soit le résultat du premier service.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités conditionnelles et construire l'arbre avec les branches complémentaires.

• Citer la formule des probabilités totales en précisant la partition utilisée ($R_1,\overline{R_1}$ puis $R_n,\overline{R_n}$).

• Pour la probabilité conditionnelle, écrire la définition $P_{R_2}(\overline{R_1})=\dfrac{P(\overline{R_1}\cap R_2)}{P(R_2)}$ avant le calcul.

• Démontrer le caractère géométrique de $(u_n)$ en factorisant $0{,}2\,x_n-0{,}1=0{,}2\,(x_n-0{,}5)$, sans oublier le premier terme $u_1$.

• Faire attention à l'indice de départ : la suite commence à $n=1$, d'où l'exposant $n-1$.

• Interpréter l'espérance et la limite dans le contexte de l'exercice.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.