Bac 2024, Asie : exercice 1

Partie A

Question 1. Limite en $0$.

Pour tout $x>0$, on a

On a $\lim\limits_{x\to0^+}x^2=0$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0$.

Par différence, $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0$.

Limite en $+\infty$.

La limite de $x^2-x\ln x$ en $+\infty$ est une forme indéterminée du type $+\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : pour tout $x>0$,

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$.

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)=1$.

Or $\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty$.

Par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Donc $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

La fonction $x\mapsto x\ln x$ est de la forme $uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$, donc de dérivée $u'v+uv'$, où $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac1x$.

Pour tout $x>0$,

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=2x-\ln x-1$.

Réponse : $f'(x)=2x-\ln x-1$.

Question 3. La fonction $f'$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (on a admis que $f$ est deux fois dérivable).

Pour tout $x>0$,

On met au même dénominateur :

Donc, pour tout $x>0$, $f''(x)=\dfrac{2x-1}{x}$.

Question 4. Le signe de $f''$ donne les variations de $f'$.

Pour tout $x>0$, on a $x>0$, donc $f''(x)$ a le signe de $2x-1$.

On a $2x-1<0\iff x<\dfrac12$, et $2x-1>0\iff x>\dfrac12$.

Donc :

• $f''(x)<0$ sur $\left]0\,;\dfrac12\right[$

• $f''\left(\dfrac12\right)=0$

• $f''(x)>0$ sur $\left]\dfrac12\,;+\infty\right[$.

Par conséquent, la fonction $f'$ est strictement décroissante sur $\left]0\,;\dfrac12\right]$ puis strictement croissante sur $\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$.

Elle admet donc un minimum en $\dfrac12$, de valeur

Tableau de variations de $f'$ : $f'$ décroît sur $\left]0\,;\dfrac12\right]$ jusqu'à la valeur $\ln2$, puis croît sur $\left[\dfrac12\,;+\infty\right[$ à partir de cette valeur.

Donc $f'$ admet sur $]0\,;+\infty[$ un minimum égal à $\ln2$, atteint en $x=\dfrac12$.

Réponse : minimum de $f'$ : $f'\left(\dfrac12\right)=\ln2$.

Question 5. D'après la question 4, pour tout $x>0$,

Or $2>1$ et la fonction $\ln$ est strictement croissante, donc $\ln2>\ln1=0$.

Donc $f'(x)\geqslant\ln2>0$ pour tout $x>0$.

La dérivée de $f$ est strictement positive sur $]0\,;+\infty[$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Partie B

Question 1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$.

Pour tout $x>0$,

Comme $x>0$, $g'(x)$ a le signe de $x-1$.

Donc $g'(x)<0$ sur $]0\,;1[$, $g'(1)=0$ et $g'(x)>0$ sur $]1\,;+\infty[$.

La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur $]0\,;1]$ puis strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$.

Son minimum est atteint en $1$ :

Donc $g$ est décroissante sur $]0\,;1]$, croissante sur $[1\,;+\infty[$, et son minimum est $g(1)=1$.

Réponse : $g'(x)=1-\dfrac1x$   minimum $g(1)=1$.

Question 2. Pour tout $x>0$, on raisonne par équivalences :

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Comme $x>0$, on a $x\neq0$, donc

D'après l'énoncé, $1$ est l'unique solution de $g(x)=1$ sur $]0\,;+\infty[$.

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=x$ sur $]0\,;+\infty[$ est $\{1\}$.

Réponse : $S=\{1\}$.

Partie C

Question 1. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété

Initialisation. On a $u_0=\dfrac12$ et

Donc $\dfrac12\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $\dfrac12\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant1$.

Tous les termes considérés sont dans $\left[\dfrac12\,;1\right]\subset]0\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $f$ est définie et strictement croissante (question A.5).

On applique $f$ aux deux inégalités $u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant1$, en conservant leur sens :

Or $f(u_k)=u_{k+1}$, $f(u_{k+1})=u_{k+2}$ et $f(1)=1^2-1\times\ln1=1$.

Donc

D'autre part, l'hypothèse de récurrence donne $\dfrac12\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}$, donc $\dfrac12\leqslant u_{k+1}$.

On obtient $\dfrac12\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant1$.

Question 2. D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

Toujours d'après la question précédente, $u_n\leqslant1$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone, toute suite croissante et majorée converge.

Donc la suite $(u_n)$ converge.

Question 3. Pour tout $n$, $\dfrac12\leqslant u_n\leqslant1$.

Par passage à la limite dans les inégalités, $\dfrac12\leqslant\ell\leqslant1$. En particulier $\ell>0$.

On admet que $f(\ell)=\ell$, avec $\ell\in]0\,;+\infty[$.

D'après la question B.2, la seule solution de $f(x)=x$ sur $]0\,;+\infty[$ est $1$.

Donc $\ell=1$.

Réponse : $\ell=1$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ en factorisant par $x^2$, puis citer les croissances comparées.

• Justifier le signe de $f''$ (dénominateur $x>0$) et donner la valeur exacte du minimum de $f'$, $\ln2>0$, pour conclure que $f$ est strictement croissante.

• Dans la récurrence : énoncer l'hypothèse avec « soit $k$ fixé », appliquer $f$ strictement croissante, et utiliser $f(1)=1$.

• Citer le théorème de la limite monotone (suite croissante et majorée) pour la convergence.

• Pour $\ell$ : vérifier $\ell>0$ avant d'utiliser l'équivalence $f(x)=x\iff g(x)=1$.

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