Bac 2024, Métropole : exercice 4

Affirmation 1. Vraie.

Notons $u_n$ la valeur de la variable u après $n$ passages dans la boucle. On a $u_0=7$ et $u_{n+1}=1{,}05\,u_n+3$. La fonction seuil(S) renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant S$ (la boucle while s'arrête dès que u < S est faux).

Pour exprimer $u_n$, on pose $v_n=u_n+60$. Alors

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1{,}05$ et de premier terme $v_0=67$. Donc $v_n=67\times1{,}05^n$, et

La suite $(u_n)$ est strictement croissante, car $u_{n+1}-u_n=0{,}05\,u_n+3>0$ (les termes sont positifs). Donc il suffit de repérer le premier rang où $u_n\geqslant100$. On calcule, à la calculatrice :

Par croissance, $u_n<100$ pour tout $n\leqslant17$, et $u_{18}\geqslant100$. Donc seuil(100) renvoie $18$.

Donc l'affirmation est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

La somme $S_n=1+\dfrac15+\dfrac1{5^2}+\dots+\dfrac1{5^n}$ est la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $\dfrac15\neq1$. Donc

Comme $-1<\dfrac15<1$, on a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac15\right)^{n+1}=0$. Donc

Donc l'affirmation est vraie : la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac54$.

Affirmation 3. Fausse.

Un binôme de délégués est une partie à $2$ éléments de l'ensemble des $30$ élèves : l'ordre ne compte pas. Le nombre de binômes est

Le nombre $870=30\times29$ est le nombre de couples ordonnés d'élèves distincts : il compte chaque binôme deux fois.

Donc l'affirmation est fausse : on peut former $435$ binômes différents, et non $870$.

Affirmation 4. Vraie.

La fonction $f:x\mapsto x(\ln x)^2$ est dérivable sur $[1\;;\;+\infty[$. Avec $(uv)'=u'v+uv'$ où $u(x)=x$ et $v(x)=(\ln x)^2$ (de dérivée $v'(x)=2\ln x\times\dfrac1x$), on a

Pour $x>1$, on a $\ln x>0$ et $\ln x+2>0$, donc $f'(x)>0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[1\;;\;+\infty[$ (la dérivée ne s'annule qu'en $x=1$). La fonction $f$ est continue sur cet intervalle, car dérivable.

Valeurs aux bornes : $f(1)=1\times(\ln1)^2=0<1$ et, comme $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\ln x)^2=+\infty$, on a par produit $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. Donc $1$ appartient à l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$ des valeurs prises par $f$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (fonction continue et strictement croissante sur un intervalle), l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans $[1\;;\;+\infty[$.

Donc l'affirmation est vraie.

Affirmation 5. Vraie.

On cherche une primitive de $x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$. Soit $G(x)=-(x+1)\mathrm{e}^{-x}$. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, avec $(uv)'=u'v+uv'$,

Donc $G$ est une primitive de $x\mapsto x\mathrm{e}^{-x}$, et

Donc l'affirmation est vraie.

Points clés attendus

• Pour l'algorithme : identifier la suite définie par la boucle, exprimer son terme général, et justifier la croissance avant de lire le premier rang qui dépasse le seuil.

• Somme géométrique : formule avec $n+1$ termes, puis limite de $q^{n+1}$ avec $-1<q<1$.

• Dénombrement : un binôme est une combinaison (non ordonnée), repérer l'erreur $30\times29$.

• Équation $f(x)=1$ : dérivée, signe, continuité, valeurs aux bornes, et corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour conclure à l'unicité.

• Intégrale : primitive vérifiée par dérivation, puis calcul avec les bornes et simplification.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.