Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 2

Partie A

Question 1. a)

Si l'on a pioché une boule blanche dans l'urne U$_1$, c'est-à-dire si $\overline{N_1}$ est réalisé, cette boule blanche est placée dans U$_2$.

L'urne U$_2$ contient alors $1+3+1=5$ boules, dont $1$ noire et $4$ blanches.

On pioche au hasard une boule dans U$_2$ : les $5$ boules sont équiprobables, donc

Donc la probabilité de piocher une boule noire dans U$_2$ sachant qu'on a pioché une boule blanche dans U$_1$ est bien égale à $0{,}2$.

Question 1. b)

Première génération de branches. L'urne U$_1$ contient $10$ boules dont $4$ noires et $6$ blanches, toutes équiprobables :

Branches issues de $N_1$. Si une boule noire de U$_1$ est placée dans U$_2$, l'urne U$_2$ contient $5$ boules dont $2$ noires et $3$ blanches. Donc

Branches issues de $\overline{N_1}$. D'après la question 1. a), $P_{\overline{N_1}}(N_2)=0{,}2$, donc

L'arbre est donc complété ainsi :

• $P(N_1)=0{,}4$, $P_{N_1}(N_2)=0{,}4$, $P_{N_1}(\overline{N_2})=0{,}6$

• $P(\overline{N_1})=0{,}6$, $P_{\overline{N_1}}(N_2)=0{,}2$, $P_{\overline{N_1}}(\overline{N_2})=0{,}8$.

Question 2.

On cherche la probabilité de piocher une boule noire dans U$_1$ et une boule noire dans U$_2$, c'est-à-dire $P(N_1\cap N_2)$.

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

Donc la probabilité de piocher une boule noire dans U$_1$ puis une boule noire dans U$_2$ est égale à $0{,}16$.

Réponse : $P(N_1\cap N_2)=0{,}16$.

Question 3.

Les évènements $N_1$ et $\overline{N_1}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers, avec $P(N_1)=0{,}4\neq 0$ et $P(\overline{N_1})=0{,}6\neq 0$.

D'après la formule des probabilités totales,

On a $P(N_1\cap N_2)=0{,}16$ et

Donc

Donc la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ est bien égale à $0{,}28$.

Question 4.

On cherche la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans U$_1$ sachant qu'on a pioché une boule noire dans U$_2$, c'est-à-dire $P_{N_2}(\overline{N_1})$.

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(N_2)=0{,}28\neq 0$),

Donc, sachant qu'on a pioché une boule noire dans U$_2$, la probabilité d'avoir pioché une boule blanche dans U$_1$ est environ $0{,}43$ (arrondie à $10^{-2}$).

Réponse : $P_{N_2}(\overline{N_1})=\dfrac37\approx 0{,}43$.

Partie B

Question 1.

On considère l'épreuve de Bernoulli qui consiste à réaliser une fois l'expérience aléatoire de la partie A, avec pour succès « piocher une boule noire dans U$_2$ » de probabilité $p=0{,}28$.

L'expérience est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante : les urnes sont remises dans leur configuration initiale entre deux expériences.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $0{,}28$ :

Question 2.

On résout l'inéquation d'inconnue $n$ entier naturel non nul :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$ : on l'applique aux deux membres, qui sont strictement positifs, en conservant le sens de l'inégalité :

Comme $0{,}72<1$, on a $\ln(0{,}72)<0$. On divise par ce nombre strictement négatif, ce qui change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier $n$ vérifiant cette inégalité est donc $n=8$.

Vérification : $0{,}72^7\approx 0{,}1003>0{,}1$ et $0{,}72^8\approx 0{,}0722\leqslant 0{,}1$.

Donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0{,}72^n\geqslant 0{,}9$ est $8$.

Réponse : $n=8$.

Question 3.

On a $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-0{,}72^n$, puisque $P(X=0)=\binom n0\,0{,}28^0\,0{,}72^n=0{,}72^n$.

L'inégalité $1-0{,}72^n\geqslant 0{,}9$ signifie donc $P(X\geqslant 1)\geqslant 0{,}9$.

Donc il faut répéter l'expérience au moins $8$ fois pour que la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l'urne U$_2$ soit supérieure ou égale à $0{,}9$.

Partie C

Question 1.

Un tirage simultané de deux boules dans U$_1$, qui contient $10$ boules, est une combinaison de $2$ éléments parmi $10$ :

Donc il y a $45$ tirages possibles de deux boules simultanément dans U$_1$.

Réponse : $45$.

Question 2.

Pour obtenir une boule blanche et une boule noire, on choisit une boule blanche parmi $6$ et une boule noire parmi $4$ :

Donc il y a $24$ tirages contenant exactement une boule blanche et une boule noire.

Réponse : $24$.

Question 3.

On note :

• $D_N$ l'évènement « les deux boules tirées dans U$_1$ sont noires »

• $M$ l'évènement « les deux boules tirées dans U$_1$ sont de couleurs différentes »

• $D_B$ l'évènement « les deux boules tirées dans U$_1$ sont blanches ».

Les $45$ tirages sont équiprobables, donc

On vérifie que $6+24+15=45$ : ces trois évènements forment une partition de l'univers.

Après le transfert, l'urne U$_2$ contient $4+2=6$ boules, et l'on y pioche une boule au hasard :

• si $D_N$ est réalisé, U$_2$ contient $3$ boules noires sur $6$, donc $P_{D_N}(N_2)=\dfrac36=\dfrac12$

• si $M$ est réalisé, U$_2$ contient $2$ boules noires sur $6$, donc $P_{M}(N_2)=\dfrac26=\dfrac13$

• si $D_B$ est réalisé, U$_2$ contient $1$ boule noire sur $6$, donc $P_{D_B}(N_2)=\dfrac16$.

D'après la formule des probabilités totales, avec la partition $\{D_N\;;\;M\;;\;D_B\}$,

Avec l'expérience de la partie A, la probabilité de piocher une boule noire dans U$_2$ est $0{,}28$. Comme $0{,}3>0{,}28$, on conclut.

Donc la probabilité de piocher une boule noire dans l'urne U$_2$ avec cette nouvelle expérience est supérieure à celle de l'expérience de la partie A.

Réponse : oui, $0{,}3>0{,}28$.

Points clés attendus

• Traduire les données de l'énoncé en probabilités conditionnelles en décrivant le contenu de U$_2$ après le transfert.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition ($N_1$, $\overline{N_1}$ en partie A   $D_N$, $M$, $D_B$ en partie C).

• Calculer la probabilité conditionnelle $P_{N_2}(\overline{N_1})$ avec le quotient et arrondir à $10^{-2}$.

• Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}28$.

• Résoudre $0{,}72^n\leqslant 0{,}1$ avec $\ln$, en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}72)<0$, puis interpréter avec $P(X\geqslant 1)$.

• Dénombrer les tirages simultanés avec les combinaisons.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.