Bac 2024, Amérique du Sud : exercice 3

Affirmation 1. FAUX.

Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a $(-1)^n\in\{-1\;;\;1\}$, donc

On divise par $n>0$, ce qui conserve le sens des inégalités :

On a $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{24}{n}=0$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{26}{n}=0$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et

Une suite qui admet une limite finie est convergente, donc elle n'est pas divergente.

Donc l'affirmation 1 est fausse : la suite $(u_n)$ converge vers $0$.

Affirmation 2. VRAI.

On admet que $w_n>0$ pour tout entier naturel $n$, donc $\dfrac1{w_n}$ est bien défini.

Pour tout entier naturel $n$,

On multiplie par $k$ :

Donc la suite $(t_n)$ est arithmétique de raison $k$ et de premier terme $t_0=\dfrac{k}{w_0}=k$.

Comme $k>0$, on a $t_{n+1}-t_n=k>0$ pour tout $n$ : la suite $(t_n)$ est strictement croissante.

Donc l'affirmation 2 est vraie : $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

Affirmation 3. VRAI.

Pour tout entier naturel $n$,

On introduit la fonction $h$ définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par $h(x)=\ln(1+x)-x$, de sorte que $v_{n+1}-v_n=h(v_n)$.

La fonction $h$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et, pour tout $x\geqslant 0$,

Pour $x>0$, on a $-x<0$ et $1+x>0$, donc $h'(x)<0$.

La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $[0\;;\;+\infty[$, et $h(0)=\ln(1)-0=0$.

On en déduit que $h(x)<0$ pour tout $x>0$.

Or on admet que $v_n>0$ pour tout $n$. Donc $h(v_n)<0$, c'est-à-dire

Donc l'affirmation 3 est vraie : la suite $(v_n)$ est (strictement) décroissante.

Affirmation 4. VRAI.

Pour tout entier naturel $n$, on écrit

On effectue une intégration par parties avec

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[1\;;\;\mathrm{e}]$, car $\ln$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ et $x\mapsto\dfrac1x$ est continue sur $[1\;;\;\mathrm{e}]$.

D'après la formule d'intégration par parties,

On simplifie l'intégrande par $x$ :

On calcule le crochet, avec $\ln(\mathrm{e})=1$ et $\ln(1)=0$ :

Donc

Donc l'affirmation 4 est vraie : pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n$.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : encadrer $u_n$ puis citer le théorème des gendarmes   l'oscillation de $(-1)^n$ ne suffit pas à conclure à la divergence.

• Affirmation 2 : exprimer $\dfrac1{w_{n+1}}$ en fonction de $\dfrac1{w_n}$ et utiliser l'hypothèse $w_n>0$   conclure avec la raison $k>0$.

• Affirmation 3 : étudier le signe de $v_{n+1}-v_n$ à l'aide d'une fonction auxiliaire, en utilisant $v_n>0$.

• Affirmation 4 : intégration par parties avec le choix $v'(x)=1$, hypothèses de régularité vérifiées, calcul du crochet.

• Chaque affirmation doit commencer par VRAI ou FAUX, puis être justifiée.

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