Bac 2023, Polynésie : exercice 3

Question 1.

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x$.

Elle est dérivable deux fois sur $\mathbb{R}$, comme somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Pour tout réel $x$ :

Puis, en dérivant à nouveau :

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$, donc $f''(x)>0$ pour tout réel $x$.

Or une fonction deux fois dérivable est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

Donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Réponse : l'affirmation est vraie.

Question 2.

On résout $\left(2\mathrm{e}^{x}-6\right)\left(\mathrm{e}^{x}+2\right)=0$ dans $\mathbb{R}$.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

Premier facteur : pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $\mathrm{e}^{x}+2>2>0$.

Ce facteur ne s'annule jamais.

Il reste donc à résoudre $2\mathrm{e}^{x}-6=0$ :

La fonction $\ln$ est la bijection réciproque de la fonction exponentielle de $\mathbb{R}$ dans $]0\,;+\infty[$, et $3>0$, donc

Donc l'équation admet $\ln(3)$ pour unique solution dans $\mathbb{R}$.

Réponse : l'affirmation est vraie.

Question 3.

Pour $x>0$, on met en facteur les termes dominants au numérateur et au dénominateur :

Le dénominateur est non nul pour $x$ grand (voir la limite ci-dessous), et

Limite de $\mathrm{e}^{-2x}$ : $\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$, donc par composition $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-2x}=0$.

Limite de $x\mathrm{e}^{-x}$ : on a $x\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}$, et par croissances comparées $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=0$.

Par opérations sur les limites :

Par ailleurs $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$.

Par produit :

Donc la limite n'est pas $0$.

Réponse : l'affirmation est fausse : la limite vaut $+\infty$.

Question 4.

La fonction $F$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{3x}+4$.

Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit et somme de fonctions dérivables.

On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{3x}$, soit $u'(x)=2$ et $v'(x)=3\mathrm{e}^{3x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{ax+b}$).

Pour tout réel $x$ :

On factorise par $\mathrm{e}^{3x}$ :

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Calculons maintenant $F(0)$ :

Les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ diffèrent d'une constante, donc une seule d'entre elles prend la valeur $5$ en $0$.

Comme $F$ est une primitive de $f$ et que $F(0)=5$, $F$ est cette primitive.

Réponse : l'affirmation est vraie.

Question 5.

On exécute mystere([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6, 12, 0, 5]).

La liste contient $10$ éléments, donc len(L) vaut $10$.

La variable S est initialisée à $0$, puis la boucle ajoute successivement chaque élément de la liste.

Après la boucle :

La fonction ne renvoie pas S, mais S / len(L), c'est-à-dire

La fonction mystere calcule donc la moyenne des éléments de la liste.

La valeur renvoyée est $5$ et non $50$ ($50$ est la valeur de la somme).

Réponse : l'affirmation est fausse : l'exécution renvoie $5$.

Points clés attendus

• Citer le critère de convexité : signe de la dérivée seconde $f''$ sur $\mathbb{R}$.

• Justifier qu'un facteur est toujours strictement positif ($\mathrm{e}^{x}+2>0$) avant de conclure sur l'équation produit.

• Lever la forme indéterminée $\frac{+\infty}{+\infty}$ en factorisant, et citer les croissances comparées.

• Vérifier à la fois $F'=f$ et la condition $F(0)=5$ pour conclure sur la primitive.

• Distinguer la somme $S$ et la valeur renvoyée $S/\texttt{len(L)}$ dans le programme.

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