Bac 2023, Polynésie : exercice 4

Question 1. a)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $u_n=2\times0{,}9^n-3$.

Initialisation. On a $u_0=-1$ et $2\times0{,}9^0-3=2\times1-3=-1$.

Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k=2\times0{,}9^k-3$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}=2\times0{,}9^{k+1}-3$.

Par définition de la suite, puis par hypothèse de récurrence :

On développe :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=2\times0{,}9^n-3$.

1. b)

Soit $n\in\mathbb{N}$.

Comme $0<0{,}9<1$, la fonction $x\mapsto0{,}9^x$ est strictement positive, et la suite $\left(0{,}9^n\right)$ est décroissante de premier terme $0{,}9^0=1$.

Donc

On multiplie par $2>0$ :

On soustrait $3$ :

D'après la question 1. a), cela s'écrit

Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $-3<u_n\leqslant-1$.

1. c)

Soit $n\in\mathbb{N}$. D'après 1. a) :

Donc

Or $0{,}9^n>0$, donc $u_{n+1}-u_n<0$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

1. d)

Première méthode. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante (question 1. c) et minorée par $-3$ (question 1. b).

D'après le théorème de la limite monotone, une suite décroissante et minorée converge.

Donc $\left(u_n\right)$ converge.

Détermination de la limite. Comme $-1<0{,}9<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}0{,}9^n=0$.

Par opérations sur les limites :

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge et sa limite est $-3$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-3$.

Question 2. a)

La fonction $g$ est définie sur $]-3\,;-1]$ par $g(x)=\ln(0{,}5x+1{,}5)-x$.

Pour $x\in]-3\,;-1]$, on a $0{,}5x+1{,}5>0$ (car $0{,}5x+1{,}5>0\iff x>-3$), donc $g$ est bien définie, et dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables.

Limite en $-3$. Quand $x$ tend vers $-3$ par valeurs supérieures, $0{,}5x+1{,}5$ tend vers $0$ par valeurs strictement positives.

Comme $\lim\limits_{X\to0^+}\ln(X)=-\infty$, par composition :

De plus $\lim\limits_{x\to-3}(-x)=3$.

Par somme :

Variations. On utilise $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=0{,}5x+1{,}5$ et $u'(x)=0{,}5$.

Pour tout $x\in]-3\,;-1]$ :

On multiplie numérateur et dénominateur par $2$ :

Sur $]-3\,;-1]$, on a $x+3>0$, donc $g'(x)$ a le signe de $-x-2$.

On a $-x-2>0\iff x<-2$, et $-x-2=0\iff x=-2$.

Donc :

• $g'(x)>0$ sur $]-3\,;-2[$, donc $g$ est strictement croissante sur $]-3\,;-2]$

• $g'(-2)=0$

• $g'(x)<0$ sur $]-2\,;-1]$, donc $g$ est strictement décroissante sur $[-2\,;-1]$.

La fonction $g$ admet donc un maximum en $-2$, égal à $g(-2)$.

Image de $-1$.

Donc $g$ part de $-\infty$ en $-3$, croît jusqu'à $g(-2)$, puis décroît jusqu'à $g(-1)=1$ : ceci justifie le tableau de variations.

2. b)

Calculons le maximum :

Comme $\ln(2)<2$ (on a $\ln 2\approx0{,}693$), $g(-2)=2-\ln 2>0$.

Sur $]-3\,;-2]$. La fonction $g$ est continue (car dérivable), strictement croissante, avec $\lim\limits_{x\to-3^+}g(x)=-\infty<0$ et $g(-2)>0$.

Donc $0$ est une valeur comprise entre la limite en $-3$ et $g(-2)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues strictement monotones), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-3\,;-2]$.

Sur $[-2\,;-1]$. La fonction $g$ est strictement décroissante, donc pour tout $x\in[-2\,;-1]$, $g(x)\geqslant g(-1)=1>0$.

L'équation $g(x)=0$ n'a donc pas de solution sur $[-2\,;-1]$.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur $]-3\,;-1]$.

Encadrement. À la calculatrice :

Comme $g$ est strictement croissante sur $]-3\,;-2]$ et que $g(-2{,}889)<0=g(\alpha)<g(-2{,}888)$, on a

Réponse : $\alpha$ est l'unique solution de $g(x)=0$ et $-2{,}889<\alpha<-2{,}888$.

Question 3. a)

Soit $n\in\mathbb{N}$. D'après 1. a), $u_n=2\times0{,}9^n-3$, donc

Donc

Alors, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

Cette différence est constante.

Donc la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln(0{,}9)$, de premier terme $v_0=0$.

3. b)

Soit $n\in\mathbb{N}$. D'après 1. b), $u_n\in]-3\,;-1]$, donc $g\left(u_n\right)$ est bien défini.

Par définition de $g$ et de $v_n$ :

Donc

Donc $u_n=v_n$ si et seulement si $g\left(u_n\right)=0$.

3. c)

On calcule, avec la formule de 1. a) :

D'après 2. b), $-2{,}889<\alpha<-2{,}888$.

Donc

Ainsi $u_{28}<\alpha<u_{27}$.

La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante (question 1. c).

• Pour tout entier $k\leqslant27$, $u_k\geqslant u_{27}>\alpha$, donc $u_k\neq\alpha$.

• Pour tout entier $k\geqslant28$, $u_k\leqslant u_{28}<\alpha$, donc $u_k\neq\alpha$.

Tout entier $k$ est dans l'un de ces deux cas.

Donc il n'existe aucun rang $k\in\mathbb{N}$ pour lequel $u_k=\alpha$.

3. d)

Raisonnons par l'absurde : supposons qu'il existe un rang $k\in\mathbb{N}$ tel que $v_k=u_k$.

D'après 3. b), on aurait $g\left(u_k\right)=0$, avec $u_k\in]-3\,;-1]$.

Or, d'après 2. b), $\alpha$ est l'unique solution de $g(x)=0$ sur $]-3\,;-1]$.

On aurait donc $u_k=\alpha$, ce qui contredit la question 3. c).

Donc il n'existe aucun rang $k\in\mathbb{N}$ pour lequel $v_k=u_k$.

Points clés attendus

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé », conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone (décroissante et minorée) et la limite de $0{,}9^n$ car $-1<0{,}9<1$.

• Justifier chaque information du tableau : limite en $-3$ par composition, signe de $g'$, valeurs $g(-2)$ et $g(-1)$.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $]-3\,;-2]$ en vérifiant continuité, stricte monotonie et signes aux bornes, puis traiter l'autre intervalle.

• Pour 3. c), localiser $\alpha$ entre deux termes consécutifs $u_{28}$ et $u_{27}$ et utiliser la stricte décroissance.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.