Bac 2023, Polynésie : exercice 1

Partie A

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

Parmi les personnes de moins de 35 ans, 68 % utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs, c'est-à-dire ne l'utilisent pas dans leurs déplacements professionnels :

Parmi les personnes de 35 ans ou plus, 20 % utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels :

On cherche $P(J\cap T)$. D'après la formule des probabilités conditionnelles :

On remplace par les valeurs :

Donc la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est $0{,}0672$.

Réponse : $P(J\cap T)=0{,}0672$.

Question 2.

Les évènements $J$ et $\overline{J}$ sont de probabilités non nulles, incompatibles, et leur réunion est l'univers entier : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

On calcule le second terme, toujours par la formule des probabilités conditionnelles :

Donc

Sous forme de fraction : $0{,}2252=\dfrac{2252}{10000}=\dfrac{563}{2500}$.

Donc la probabilité que la personne interrogée utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est $\dfrac{563}{2500}=0{,}2252$.

Réponse : $P(T)=\dfrac{563}{2500}=0{,}2252$.

Question 3.

On interroge une personne qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels : on cherche la probabilité conditionnelle $P_T(J)$.

Comme $P(T)\neq 0$, la définition de la probabilité conditionnelle donne

Le calcul à la calculatrice donne

On compare à $0{,}30$ :

Donc $0{,}30$ est une valeur approchée de $P_T(J)$ à $10^{-2}$ près.

Donc la probabilité qu'une personne utilisant son vélo dans ses déplacements professionnels ait moins de 35 ans est bien égale à $0{,}30$ à $10^{-2}$ près.

Partie B

Question 1.

Dans cette partie, on ne s'intéresse qu'aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels, dont 30 % ont moins de 35 ans (résultat admis).

Le prélèvement d'une personne de l'échantillon est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la personne a moins de 35 ans », de probabilité $p=0{,}3$.

L'échantillon est assimilé à un tirage avec remise : on répète donc $n=120$ fois cette même épreuve, dans des conditions identiques et de façon indépendante.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès parmi ces $120$ épreuves.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0{,}3$, notée $\mathcal{B}(120\,;0{,}3)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(120\,;0{,}3)$.

Question 2.

On cherche la probabilité qu'au moins $50$ personnes de l'échantillon aient moins de $35$ ans, c'est-à-dire $P(X\geqslant 50)$.

On passe par l'évènement contraire :

À la calculatrice, avec la loi binomiale $\mathcal{B}(120\,;0{,}3)$, on obtient

donc

Arrondie au millième, cette probabilité vaut $0{,}004$.

Donc la probabilité qu'au moins $50$ des $120$ personnes de l'échantillon aient moins de $35$ ans est environ $0{,}004$.

Réponse : $P(X\geqslant 50)\approx 0{,}004$.

Points clés attendus

• Traduire correctement les données en probabilités conditionnelles ($P_J(T)=0{,}32$ et non $0{,}68$).

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{J\,;\overline{J}\}$.

• Utiliser la définition de $P_T(J)$ puis comparer explicitement l'écart à $10^{-2}$.

• Justifier la loi binomiale : $120$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), $p=0{,}3$.

• Passer par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant 50)$ et arrondir au millième.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.