Bac 2023, Métropole : exercice 2

Question 1.

On a $\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$, donc $\lim\limits_{x \to 0^+} \left(-8\ln(x)\right) = +\infty$.

Par somme, $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty$.

Question 2.

On utilise l'écriture admise : pour tout $x > 0$, $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right)$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} = 0$.

Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 - 8\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right) = 1$.

Par ailleurs $\lim\limits_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$. Par produit,

Réponse : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Question 3.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ (admis). On a $\left(x^2\right)' = 2x$ et $\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$. Donc, pour tout $x > 0$,

On met au même dénominateur :

Donc, pour tout $x \in\, ]0\,;\,+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.

Question 4.

Pour $x > 0$, on a $2 > 0$ et $x > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Or $x + 2 > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $x - 2$.

On en déduit :

• pour $x \in\, ]0\,;\,2[$, $f'(x) < 0$

• $f'(2) = 0$

• pour $x \in\, ]2\,;\,+\infty[$, $f'(x) > 0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;\,2]$ et strictement croissante sur $[2\,;\,+\infty[$.

Elle admet donc un minimum en $x = 2$, de valeur exacte

Tableau de variations : $f$ part de $+\infty$ (limite en $0$), décroît jusqu'à la valeur $4 - 8\ln(2)$ atteinte en $x = 2$, puis croît jusqu'à $+\infty$ (limite en $+\infty$).

Donc le minimum de $f$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est $4 - 8\ln(2)$, atteint en $x = 2$.

Réponse : minimum $f(2) = 4 - 8\ln(2) \approx -1{,}545$.

Question 5.

Signe de $f(2)$. On a $4 > \mathrm{e}$, donc $2 > \sqrt{\mathrm{e}}$, et par stricte croissance de $\ln$, $\ln(2) > \dfrac{1}{2}$. Donc $8\ln(2) > 4$, c'est-à-dire $f(2) = 4 - 8\ln(2) < 0$.

Hypothèses du théorème. Sur l'intervalle $]0\,;\,2]$ :

• $f$ est continue, car dérivable

• $f$ est strictement décroissante (question 4)

• $f$ prend toutes les valeurs de l'intervalle $\left[f(2)\,;\,+\infty\right[$, car $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty$ et $f(2) < 0$.

Comme $0 \in \left[f(2)\,;\,+\infty\right[$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection pour une fonction continue strictement monotone), l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;\,2]$. De plus $f(2) \neq 0$, donc $\alpha < 2$.

Donc l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;\,2]$.

Question 6.

On admet que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\beta$ sur $[2\,;\,+\infty[$. Comme $f(2) < 0$, on a $\beta > 2$, donc $\alpha < 2 < \beta$.

On étudie le signe de $f$ à l'aide des variations.

• Sur $]0\,;\,\alpha[$ : $f$ est strictement décroissante et $f(\alpha) = 0$, donc $f(x) > f(\alpha) = 0$.

• Sur $]\alpha\,;\,2]$ : $f$ est strictement décroissante, donc $f(x) < f(\alpha) = 0$.

• Sur $[2\,;\,\beta[$ : $f$ est strictement croissante et $f(\beta) = 0$, donc $f(x) < f(\beta) = 0$.

• Sur $]\beta\,;\,+\infty[$ : $f$ est strictement croissante, donc $f(x) > f(\beta) = 0$.

Donc :

• $f(x) > 0$ sur $]0\,;\,\alpha[$ et sur $]\beta\,;\,+\infty[$

• $f(x) < 0$ sur $]\alpha\,;\,\beta[$

• $f(\alpha) = f(\beta) = 0$.

Question 7.

Pour tout $x > 0$, $g_k(x) = f(x) + k$.

La fonction $g_k$ est positive sur $]0\,;\,+\infty[$ si et seulement si, pour tout $x > 0$, $f(x) + k \geqslant 0$, c'est-à-dire $k \geqslant -f(x)$.

D'après le tableau de variations, $f$ admet pour minimum $f(2)$ sur $]0\,;\,+\infty[$, donc $-f(x)$ admet pour maximum $-f(2)$. La condition est donc équivalente à

Donc la plus petite valeur de $k$ pour laquelle $g_k$ est positive sur $]0\,;\,+\infty[$ est $k = 8\ln(2) - 4 \approx 1{,}545$.

Réponse : $k = 8\ln(2) - 4 \approx 1{,}545$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ avec l'écriture admise et les croissances comparées.

• Étudier le signe de $f'$ en justifiant que $x>0$ et $x+2>0$.

• Donner la valeur exacte du minimum $4-8\ln 2$ et justifier qu'elle est négative.

• Théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie, valeurs aux bornes, unicité.

• Pour le signe de $f$, s'appuyer sur les variations et les valeurs $f(\alpha)=f(\beta)=0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.