Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2023, Métropole : exercice 1

20 mars 2023 · jour 1 · 5 points QCM

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.
Les questions sont indépendantes.

Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

20 % des machines sont sous garantie
0,2 % des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie
8,2 % des machines sont défectueuses.

Le technicien teste une machine au hasard.

On considère les évènements suivants :

$G$ : « la machine est sous garantie »
$D$ : « la machine est défectueuse »
$\overline{G}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $G$ et $D$ .

Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s'aider de l'arbre proposé ci-contre.

Figure de l'énoncé, exercice 1, Métropole 20 mars 2023

La probabilité $p_G(D)$ de l'évènement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :

a. 0,002 b. 0,01 c. 0,024 d. 0,2
La probabilité $p\left(\overline{G} \cap D\right)$ est égale à :

a. 0,01 b. 0,08 c. 0,1 d. 0,21
La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est environ égale, à $10^{-3}$ près, à :

a. 0,01 b. 0,024 c. 0,082 d. 0,1

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l'entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul.

On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$ .

Dans cette question, on prend $n =50$ .

La valeur de la probabilité $p(X > 2)$ , arrondie au millième, est de :

a. 0,136 b. 0,789 c. 0,864 d. 0,924
On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$ .

La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :

a. 5 b. 6 c. 10 d. 11

Voir le corrigé

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

P(G) = 0{,}2, \qquad P(G \cap D) = 0{,}002, \qquad P(D) = 0{,}082.

Question 1. Réponse b.

On cherche $P_G(D)$ . Comme $P(G) = 0{,}2 \neq 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle donne

P_G(D) = \dfrac{P(G \cap D)}{P(G)} = \dfrac{0{,}002}{0{,}2} = 0{,}01.

Donc la probabilité qu'une machine sous garantie soit défectueuse est $0{,}01$ .

Les autres propositions ne conviennent pas : $0{,}002$ est $P(G \cap D)$ et $0{,}2$ est $P(G)$ .

Réponse : $0{,}01$ (proposition b).

Question 2. Réponse b.

Les évènements $G$ et $\overline{G}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

P(D) = P(G \cap D) + P\left(\overline{G} \cap D\right).

Donc

P\left(\overline{G} \cap D\right) = P(D) - P(G \cap D) = 0{,}082 - 0{,}002 = 0{,}08.

Donc la probabilité qu'une machine ne soit pas sous garantie et soit défectueuse est $0{,}08$ .

Réponse : $0{,}08$ (proposition b).

Question 3. Réponse b.

On cherche $P_D(G)$ . Comme $P(D) = 0{,}082 \neq 0$ ,

P_D(G) = \dfrac{P(G \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}002}{0{,}082} \approx 0{,}024

10^{-3}

près.

Donc, sachant qu'une machine est défectueuse, la probabilité qu'elle soit sous garantie est environ $0{,}024$ .

Les autres propositions ne conviennent pas : $0{,}082$ est $P(D)$ , $0{,}01$ est $P_G(D)$ , et $0{,}1$ est $P_{\overline{G}}(D) = \dfrac{0{,}08}{0{,}8}$ .

Réponse : $0{,}024$ (proposition b).

Question 4. Réponse b.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0{,}082$ .

L'évènement $\{X > 2\}$ est le contraire de $\{X \leqslant 2\}$ , donc

P(X > 2) = 1 - P(X \leqslant 2) = 1 - \left[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\right].

À la calculatrice, $P(X \leqslant 2) \approx 0{,}2114$ , donc

P(X > 2) \approx 1 - 0{,}2114 = 0{,}7886 \approx 0{,}789

10^{-3}

près.

Donc la probabilité d'avoir plus de deux machines défectueuses dans un lot de $50$ est environ $0{,}789$ .

Réponse : $0{,}789$ (proposition b).

Question 5. Réponse c.

Toutes les machines d'un lot de taille $n$ fonctionnent correctement si et seulement si $X = 0$ . Pour la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}082$ ,

P(X = 0) = \binom{n}{0} \, p^0 \, (1 - p)^n = 0{,}918^n.

On cherche les entiers $n$ tels que $0{,}918^n > 0{,}4$ . La suite $\left(0{,}918^n\right)$ est géométrique de raison $0{,}918 \in\, ]0\,;\,1[$ , donc strictement décroissante. On calcule :

0{,}918^{10} \approx 0{,}425 > 0{,}4 \qquad \text{et} \qquad 0{,}918^{11} \approx 0{,}390 < 0{,}4.

Par décroissance, $0{,}918^n > 0{,}4$ pour tout $n \leqslant 10$ et $0{,}918^n < 0{,}4$ pour tout $n \geqslant 11$ .

Donc la plus grande valeur possible de $n$ est $10$ .

On peut le retrouver par le logarithme : $0{,}918^n > 0{,}4 \iff n \ln(0{,}918) > \ln(0{,}4) \iff n < \dfrac{\ln(0{,}4)}{\ln(0{,}918)} \approx 10{,}71$ , car $\ln(0{,}918) < 0$ .

Réponse : $n = 10$ (proposition c).

Points clés attendus

Traduire les pourcentages en probabilités avant tout calcul ( $P(G)$ , $P(G \cap D)$ , $P(D)$ ).
Distinguer $P_G(D)$ et $P_D(G)$ : le dénominateur change.
Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{G\,;\,\overline{G}\}$ .
Pour la loi binomiale, utiliser $P(X>2)=1-P(X\leqslant 2)$ et donner l'arrondi demandé.
Pour le seuil, exprimer $P(X=0)=0{,}918^n$ puis exploiter la décroissance de la suite.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Métropole, 20 mars 2023 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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