Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 1

Partie A

Question 1.

La tangente $\mathcal{T}$ passe par le point A$\left(0\;;\;\dfrac12\right)$ et par le point B$\left(1\;;\;\dfrac54\right)$.

Son coefficient directeur est

Son ordonnée à l'origine est l'ordonnée de A, c'est-à-dire $\dfrac12$.

Donc l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$ est $y=\dfrac34x+\dfrac12$.

Réponse : $y=\dfrac34x+\dfrac12$.

Question 2.

Par lecture graphique, la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de ses tangentes à gauche de l'abscisse $0$ et en dessous de ses tangentes à droite de l'abscisse $0$.

Donc la fonction $f$ semble convexe sur $]-\infty\;;\;0]$ et concave sur $[0\;;\;+\infty[$.

Réponse : convexe sur $]-\infty\;;\;0]$, concave sur $[0\;;\;+\infty[$.

Partie B

Question 1.

La fonction $f$ s'écrit $f=\dfrac1u$ avec $u(x)=1+\mathrm{e}^{-3x}$.

La fonction $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de la fonction constante $1$ et de la composée $x\mapsto\mathrm{e}^{-3x}$.

Elle ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$, car $\mathrm{e}^{-3x}>0$ donc $u(x)>1$.

Dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{-3x}$ : c'est la composée de $x\mapsto-3x$ par la fonction exponentielle, donc sa dérivée est $-3\mathrm{e}^{-3x}$.

Ainsi $u'(x)=-3\mathrm{e}^{-3x}$.

On applique la formule $\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$. Pour tout réel $x$ :

Réponse : $f'(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^{-3x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)^2}$.

Question 2.

Pour tout réel $x$, on a $\mathrm{e}^{-3x}>0$, donc le numérateur $3\mathrm{e}^{-3x}$ est strictement positif.

Le dénominateur $\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)^2$ est le carré d'un réel non nul, donc il est strictement positif.

Donc $f'(x)>0$ pour tout réel $x$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Question 3. a)

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}(-3x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-3x}=0$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)=1$.

Par quotient, comme cette limite est non nulle, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac11=1$.

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $1$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$.

b)

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}(-3x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-3x}=+\infty$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)=+\infty$.

Par inverse, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Donc la limite de $f$ en $-\infty$ est $0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$.

Question 4.

On résout l'équation $f(x)=0{,}99$. Pour tout réel $x$ :

Les équivalences utilisent la stricte croissance de la fonction $\ln$ sur $]0\;;\;+\infty[$ (donc la bijectivité de $\exp$ de $\mathbb{R}$ dans $]0\;;\;+\infty[$).

Donc l'équation $f(x)=0{,}99$ admet une unique solution, $\alpha=\dfrac{\ln(99)}{3}$, soit $\alpha\approx1{,}532$ à $10^{-3}$ près.

Réponse : $\alpha=\dfrac{\ln(99)}{3}\approx1{,}532$.

Partie C

Question 1.

L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.

On calcule

Donc $\mathcal{T}$ a pour équation $y=\dfrac34x+\dfrac12$, ce qui est cohérent avec la lecture graphique de la partie A.

Réponse : $y=\dfrac34x+\dfrac12$.

Question 2.

Pour tout réel $x$, on a $9\mathrm{e}^{-3x}>0$ et $\left(1+\mathrm{e}^{-3x}\right)^3>0$.

Donc $f''(x)$ est du signe de $\mathrm{e}^{-3x}-1$.

La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{-3x}$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$, et $\mathrm{e}^{0}=1$.

Donc :

• $\mathrm{e}^{-3x}-1>0\iff\mathrm{e}^{-3x}>\mathrm{e}^{0}\iff-3x>0\iff x<0$

• $\mathrm{e}^{-3x}-1=0\iff x=0$

• $\mathrm{e}^{-3x}-1<0\iff x>0$.

Donc $f''(x)>0$ sur $]-\infty\;;\;0[$, $f''(0)=0$ et $f''(x)<0$ sur $]0\;;\;+\infty[$.

Question 3. a)

La fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est convexe sur un intervalle $I$ si et seulement si $f''\geqslant0$ sur $I$.

D'après la question précédente, $f''\geqslant0$ sur $]-\infty\;;\;0]$.

Donc la fonction $f$ est convexe sur $]-\infty\;;\;0]$.

De plus, $f''\leqslant0$ sur $[0\;;\;+\infty[$, donc $f$ est concave sur $[0\;;\;+\infty[$.

Réponse : $f$ est convexe sur $]-\infty\;;\;0]$.

b)

La dérivée seconde $f''$ s'annule en $0$ en changeant de signe (positive avant $0$, négative après).

Donc la convexité de $f$ change en $0$ : le point A$\left(0\;;\;\dfrac12\right)$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.

c)

Sur $]-\infty\;;\;0]$, la fonction $f$ est convexe, donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de $\mathcal{T}$.

Sur $[0\;;\;+\infty[$, la fonction $f$ est concave, donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est en dessous de chacune de ses tangentes, en particulier de $\mathcal{T}$.

Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{T}$ sur $]-\infty\;;\;0]$, en dessous de $\mathcal{T}$ sur $[0\;;\;+\infty[$, et la courbe traverse sa tangente au point A, seul point commun d'abscisse $0$.

Points clés attendus

• Dérivée de $\dfrac1u$ et de $x\mapsto\mathrm{e}^{-3x}$ (dérivée d'une composée), avec le signe de $f'$ justifié par la positivité de l'exponentielle.

• Limites par composition ($\mathrm{e}^{X}$ avec $X=-3x$), puis somme et quotient.

• Résolution de $f(x)=0{,}99$ avec le logarithme népérien, valeur exacte puis valeur approchée.

• Signe de $f''$ ramené au signe de $\mathrm{e}^{-3x}-1$, puis lien entre signe de $f''$ et convexité.

• Point d'inflexion et position de la courbe par rapport à sa tangente.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.