Bac 2023, Asie : exercice 3

Question 1. On lit les positions relatives de la courbe $y=\ln(x)$ et des droites sur le graphique. Les solutions de l'équation $\ln(x)=kx$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite d'équation $y=kx$.

Pour $k=1$ : la droite $y=x$ semble toujours située au-dessus de la courbe $y=\ln(x)$, sans la couper. On conjecture que l'équation $\ln(x)=x$ n'a aucune solution.

Pour $k=0{,}2$ : la droite $y=0{,}2x$ semble couper la courbe en deux points, d'abscisses voisines de $1{,}3$ et de $12{,}7$. On conjecture que l'équation $\ln(x)=0{,}2x$ a deux solutions.

Réponse : $k=1$ : aucune solution   $k=0{,}2$ : deux solutions (conjectures).

Question 2. La fonction $f$ est définie sur $]0\;;\;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)-x$.

a) La fonction $f$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ comme différence de fonctions dérivables sur cet intervalle. Pour tout $x>0$,

Réponse : $f'(x)=\dfrac{1-x}{x}$.

b) Pour tout $x>0$, on a $x>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $1-x$.

• Sur $]0\;;\;1[$ : $1-x>0$, donc $f'(x)>0$.

• En $x=1$ : $f'(1)=0$.

• Sur $]1\;;\;+\infty[$ : $1-x<0$, donc $f'(x)<0$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]0\;;\;1]$ et strictement décroissante sur $[1\;;\;+\infty[$.

Elle admet donc un maximum atteint en $x=1$, de valeur

Le tableau de variations de $f$ est donc le suivant : $f$ croît sur $]0\;;\;1]$ jusqu'à la valeur $f(1)=-1$, puis décroît sur $[1\;;\;+\infty[$.

Réponse : maximum de $f$ égal à $-1$, atteint en $x=1$.

c) D'après la question précédente, pour tout $x>0$, $f(x)\leqslant f(1)=-1<0$.

Donc $f(x)$ ne s'annule jamais sur $]0\;;\;+\infty[$, c'est-à-dire que $\ln(x)-x=0$ n'a pas de solution.

Donc l'équation $\ln(x)=x$ n'a aucune solution, ce qui confirme la conjecture.

Réponse : aucune solution.

Question 3. Soit $k>0$. La fonction $g$ est définie sur $]0\;;\;+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)-kx$, et on admet son tableau de variations : $g$ est strictement croissante sur $\left]0\;;\;\dfrac1k\right]$, de limite $-\infty$ en $0$ à $g\left(\dfrac1k\right)$, puis strictement décroissante sur $\left[\dfrac1k\;;\;+\infty\right[$, de $g\left(\dfrac1k\right)$ à la limite $-\infty$ en $+\infty$.

a) La fonction $g$ est continue sur $]0\;;\;+\infty[$ (elle est dérivable).

Cas où $g\left(\dfrac1k\right)>0$. Sur $\left]0\;;\;\dfrac1k\right]$, $g$ est continue, strictement croissante, et prend des valeurs allant de $-\infty$ à $g\left(\dfrac1k\right)>0$. Le réel $0$ appartient à l'intervalle image. D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue strictement monotone), l'équation $g(x)=0$ a une unique solution sur cet intervalle.

De même, sur $\left[\dfrac1k\;;\;+\infty\right[$, $g$ est continue, strictement décroissante, de $g\left(\dfrac1k\right)>0$ à $-\infty$, donc l'équation $g(x)=0$ a une unique solution sur cet intervalle.

Ces deux solutions sont distinctes, car $g\left(\dfrac1k\right)\neq0$ : l'équation $g(x)=0$ a exactement deux solutions.

Cas où $g\left(\dfrac1k\right)=0$. Le maximum de $g$ est $0$, atteint seulement en $\dfrac1k$ (stricte monotonie de part et d'autre). Donc l'équation $g(x)=0$ a exactement une solution, $x=\dfrac1k$.

Cas où $g\left(\dfrac1k\right)<0$. Pour tout $x>0$, $g(x)\leqslant g\left(\dfrac1k\right)<0$. Donc l'équation $g(x)=0$ n'a aucune solution.

Réponse : deux solutions si $g\left(\dfrac1k\right)>0$   une seule si $g\left(\dfrac1k\right)=0$   aucune si $g\left(\dfrac1k\right)<0$.

b) On calcule

Réponse : $g\left(\dfrac1k\right)=-\ln(k)-1$.

c) D'après la question précédente,

Donc $g\left(\dfrac1k\right)>0$ équivaut à $\ln(k)<-1$.

d) L'équation $\ln(x)=kx$ équivaut à $g(x)=0$. D'après la question 3.a, elle a exactement deux solutions si et seulement si $g\left(\dfrac1k\right)>0$, c'est-à-dire (question 3.c) si et seulement si $\ln(k)<-1$.

Or $-1=\ln\left(\mathrm{e}^{-1}\right)$ et la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\;;\;+\infty[$. Donc, pour $k>0$,

Donc l'équation $\ln(x)=kx$ possède exactement deux solutions si et seulement si $k\in\left]0\;;\;\dfrac1{\mathrm{e}}\right[$.

Réponse : $k\in\left]0\;;\;\dfrac1{\mathrm{e}}\right[$.

e) On reprend l'équivalence précédente pour les trois cas de la question 3.a. Comme $\ln$ est strictement croissante, $\ln(k)<-1\iff k<\dfrac1{\mathrm{e}}$, $\ln(k)=-1\iff k=\dfrac1{\mathrm{e}}$ et $\ln(k)>-1\iff k>\dfrac1{\mathrm{e}}$. D'où, pour $k>0$ :

• si $0<k<\dfrac1{\mathrm{e}}$ : $g\left(\dfrac1k\right)>0$, l'équation a deux solutions

• si $k=\dfrac1{\mathrm{e}}$ : $g\left(\dfrac1k\right)=0$, l'équation a une seule solution, $x=\dfrac1k=\mathrm{e}$

• si $k>\dfrac1{\mathrm{e}}$ : $g\left(\dfrac1k\right)<0$, l'équation n'a aucune solution.

Ce résultat est cohérent avec la question 1 : $k=1>\dfrac1{\mathrm{e}}$ donne aucune solution, et $k=0{,}2<\dfrac1{\mathrm{e}}\approx0{,}368$ donne deux solutions.

Réponse : deux solutions si $0<k<\dfrac1{\mathrm{e}}$   une solution si $k=\dfrac1{\mathrm{e}}$   aucune solution si $k>\dfrac1{\mathrm{e}}$.

Points clés attendus

• Lecture graphique : les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.

• Étude de $f$ : dérivée, signe justifié par $x>0$, maximum $f(1)=-1<0$, donc pas de solution.

• Pour le nombre de solutions de $g(x)=0$ : citer le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle, avec continuité, stricte monotonie et signes aux bornes.

• Traiter les trois cas selon le signe de $g\left(\dfrac1k\right)$, y compris le cas d'égalité.

• Passer de $\ln(k)<-1$ à $k<\mathrm{e}^{-1}$ en justifiant par la croissance de $\ln$.

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