Bac 2023, Asie : exercice 1

Partie A

Question 1.

a) On utilise la relation de récurrence $u_{n+1}=0{,}9u_n+60$ avec $u_0=400$.

Donc $u_1=420$ et $u_2=438$.

Réponse : $u_1=420$   $u_2=438$.

b) On a $u_0=400<u_1=420<u_2=438$.

Donc on conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante.

Question 2. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant600$.

Initialisation. On a $u_0=400$ et $u_1=420$, donc $0\leqslant400\leqslant420\leqslant600$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire que $0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant600$.

La fonction $f:x\mapsto0{,}9x+60$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (fonction affine de coefficient directeur $0{,}9>0$) : elle conserve donc le sens des inégalités.

On l'applique à chaque membre de l'hypothèse de récurrence :

Or $0{,}9u_k+60=u_{k+1}$, $0{,}9u_{k+1}+60=u_{k+2}$ et $0{,}9\times600+60=600$. On obtient

Comme $0\leqslant60$, on en déduit

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 3.

a) D'après la question 2, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

D'après la question 2, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant600$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $600$.

Or, d'après le théorème de convergence monotone, toute suite croissante et majorée converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

b) Notons $\ell$ la limite de $(u_n)$, qui existe d'après la question précédente.

Alors $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\ell$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_{n+1}=\ell$.

La fonction $f:x\mapsto0{,}9x+60$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc on peut passer à la limite dans l'égalité $u_{n+1}=0{,}9u_n+60$ :

On résout :

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $600$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=600$.

Question 4. La fonction mystere(seuil) initialise n à $0$ et u à $400$ (soit $u_0$). À chaque passage dans la boucle while, n augmente de $1$ et u est remplacé par $0{,}9u+60$ : après $n$ passages, u vaut $u_n$.

La boucle continue tant que u < = seuil. Pour seuil = 500, on calcule les termes successifs :

• $u_0=400$, $u_1=420$, $u_2=438$

• $u_3=0{,}9\times438+60=454{,}2$

• $u_4=0{,}9\times454{,}2+60=468{,}78$

• $u_5=0{,}9\times468{,}78+60=481{,}902$

• $u_6=0{,}9\times481{,}902+60=493{,}7118$

• $u_7=0{,}9\times493{,}7118+60=504{,}34062$.

La condition u < = 500 est vraie pour $u_0,\dots,u_6$ et fausse pour $u_7$. La boucle s'arrête donc lorsque n vaut $7$, et la fonction renvoie cette valeur.

Donc mystere(500) renvoie $7$.

Réponse : $7$.

Partie B

Pour tout entier naturel $n$, notons $a_n$ le nombre d'arbres du verger en $2023+n$. On a $a_0=400$.

Chaque année, $10\,\%$ des arbres sont vendus : il en reste $90\,\%$, soit $0{,}9a_n$. Puis $60$ arbres sont replantés. Donc

La suite $(a_n)$ est donc la suite $(u_n)$ de la partie A.

D'après la partie A, cette suite est croissante et converge vers $600$. De plus, $u_6\approx493{,}7<500$ et $u_7\approx504{,}3>500$.

Comme la suite est croissante, $u_n>500$ pour tout $n\geqslant7$. Le verger dépasse donc $500$ arbres à partir de l'année $2023+7=2030$.

Or le verger ne peut contenir au maximum que $500$ arbres.

Donc, si l'arboriculteur continue à vendre et à planter au même rythme, il sera confronté à un problème de place dès 2030.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée en trois temps (initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, conclusion), en citant la croissance de la fonction affine.

• Citer le théorème de convergence monotone avec les deux hypothèses : suite croissante et majorée.

• Obtenir la limite par passage à la limite dans la relation de récurrence, puis résolution de $\ell=0{,}9\ell+60$.

• Python : dérouler les termes jusqu'à ce que la condition de la boucle devienne fausse et lire la valeur de $n$.

• Modéliser la situation de la partie B par la suite de la partie A, puis conclure avec le sens de variation et les valeurs de $u_6$ et $u_7$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.