Bac 2023, Amérique du Sud : exercice 3

Question 1.

On applique la relation de récurrence $u_{n+1}=5u_n-8n+6$ avec $u_0=0$ :

Donc $u_1=6$ et $u_2=28$.

Réponse : $u_1=6$ et $u_2=28$.

Question 2.

Dans la boucle, l'indice $i$ prend les valeurs $1{,}2,\dots,n$. À l'étape $i$, la variable u contient $u_{i-1}$ et doit devenir $u_i$.

La relation de récurrence appliquée au rang $i-1$ donne :

La variable u doit être initialisée à $u_0=0$.

La fonction complétée est :

def suite_u(n) :
    u = 0
    for i in range(1,n+1) :
        u = 5*u-8*(i-1)+6
    return u

Vérification pour $n=2$ : u vaut $0$, puis $5\times 0-8\times 0+6=6$ pour $i=1$, puis $5\times 6-8\times 1+6=28$ pour $i=2$. La fonction renvoie bien $u_2=28$.

Donc u = 0 avant la boucle et u = 5*u-8*(i-1)+6 dans la boucle.

Question 3. a)

On démontre par récurrence la propriété $P(n)$ : « $u_n\geqslant 2n$ ».

Initialisation. On a $u_0=0$ et $2\times 0=0$, donc $u_0\geqslant 2\times 0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k\geqslant 2k$ (hypothèse de récurrence). Montrons $P(k+1)$, c'est-à-dire $u_{k+1}\geqslant 2(k+1)$.

On multiplie l'hypothèse de récurrence par $5>0$, ce qui conserve le sens de l'inégalité :

On ajoute $-8k+6$ à chaque membre :

soit

Or $2k+6\geqslant 2k+2$, donc :

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant 2n$.

Question 3. b)

On a, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geqslant 2n$ (question 3. a)).

De plus $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}2n=+\infty$.

D'après le théorème de comparaison (une suite minorée à partir d'un certain rang par une suite de limite $+\infty$ a pour limite $+\infty$) :

Donc la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+\infty$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.

Question 3. c)

Par définition, dire que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]A\,;+\infty[$, avec $A$ réel, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Soit $p\in\mathbb{N}^*$. On applique cette définition avec $A=10^{p}$ : il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\geqslant n_0$, $u_n>10^{p}$, donc en particulier $u_n\geqslant 10^{p}$.

Donc il existe un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^{p}$.

Question 4.

Pour tout entier naturel $n$ :

D'après la question 3. a), $u_n\geqslant 2n$, donc $4u_n\geqslant 8n$, d'où :

Donc $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante, donc croissante.

Question 5. a)

L'affichage de suite_v(5) donne la liste des termes $v_0,v_1,\dots,v_5$ :

Chaque terme est égal à $5$ fois le précédent. On conjecture donc :

Démonstration. Soit $n\in\mathbb{N}$. Par définition de $\left(v_n\right)$, $v_{n+1}=u_{n+1}-2(n+1)+1$. On remplace $u_{n+1}$ par son expression :

Donc, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=5v_n$.

Question 5. b)

D'après la question 5. a), la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $5$.

Son premier terme est $v_0=u_0-2\times 0+1=1$.

Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

Or $v_n=u_n-2n+1$, donc $u_n=v_n+2n-1$ :

Vérification : $u_0=1+0-1=0$, $u_1=5+2-1=6$ et $u_2=25+4-1=28$, valeurs cohérentes avec la question 1.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=5^{n}+2n-1$.

Réponse : $u_n=5^{n}+2n-1$.

Points clés attendus

• Récurrence rédigée complètement : initialisation, hérédité avec l'hypothèse de récurrence énoncée, conclusion.

• Python : identifier que u contient $u_{i-1}$ au début de l'étape $i$, d'où le terme $-8(i-1)$.

• Limite : citer le théorème de comparaison, et la définition de la limite $+\infty$ pour la question 3. c).

• Croissance : étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant l'inégalité $u_n\geqslant 2n$.

• Suite auxiliaire : montrer que $v_{n+1}=5v_n$ en factorisant, reconnaître une suite géométrique, puis revenir à $u_n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.