Bac 2022, Polynésie : exercice 3

Question 1.

Le nombre d'oiseaux au début de l'année 2022 est $u_1$. On a $u_0=40$ et $u_1=0{,}008\,u_0\left(200-u_0\right)$ :

Donc, selon ce modèle, la colonie compte environ $51$ oiseaux au début de l'année 2022.

Réponse : $u_1=51{,}2$, soit environ $51$ oiseaux.

Question 2.

Pour $x\in[0\,;100]$, on a $f(x)=0{,}008x(200-x)=1{,}6x-0{,}008x^2$. Donc

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $x=0$ ou $0{,}6-0{,}008x=0$, c'est-à-dire $x=\dfrac{0{,}6}{0{,}008}=75$.

Les deux nombres $0$ et $75$ appartiennent à $[0\,;100]$.

Donc l'équation $f(x)=x$ a pour ensemble de solutions $\{0\,;75\}$ dans $[0\,;100]$.

Réponse : $x=0$ ou $x=75$.

Question 3. a)

La fonction $f$ est un polynôme, donc dérivable sur $[0\,;100]$, et $f(x)=1{,}6x-0{,}008x^2$. Donc

Pour tout $x\in[0\,;100]$, on a $100-x\geqslant0$ et $0{,}016>0$, donc $f'(x)\geqslant0$. La dérivée ne s'annule qu'en $x=100$.

Donc $f$ est croissante sur $[0\,;100]$ (strictement croissante).

On calcule les valeurs aux bornes :

Tableau de variations : $f$ est croissante sur $[0\,;100]$, de $f(0)=0$ à $f(100)=80$.

Question 3. b)

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100$.

Initialisation. On a $u_0=40$ et $u_1=51{,}2$, donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant100$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $0\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}\leqslant100$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$.

Les nombres $0$, $u_k$, $u_{k+1}$ et $100$ appartiennent à $[0\,;100]$, intervalle sur lequel $f$ est croissante d'après la question 3. a). On applique $f$ à chaque membre en conservant le sens des inégalités :

Comme $f(0)=0$, $f\left(u_k\right)=u_{k+1}$, $f\left(u_{k+1}\right)=u_{k+2}$ et $f(100)=80$, on obtient

Or $80\leqslant100$, donc $0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant100$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant100$.

Question 3. c)

D'après la question 3. b), pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. Et $u_n\leqslant100$ : elle est majorée par $100$.

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), les deux hypothèses étant vérifiées.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

Question 3. d)

Soit $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$, qui existe d'après la question 3. c).

Comme $0\leqslant u_n\leqslant100$ pour tout $n$, le passage à la limite dans les inégalités larges donne $0\leqslant\ell\leqslant100$, donc $\ell\in[0\,;100]$. De plus la suite est croissante, donc $u_n\geqslant u_0=40$ pour tout $n$, d'où $\ell\geqslant40$.

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;100]$ (polynôme) et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. Comme $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell\in[0\,;100]$, la suite $\left(f\left(u_n\right)\right)$ converge vers $f(\ell)$, et $\left(u_{n+1}\right)$ converge aussi vers $\ell$. Par unicité de la limite :

D'après la question 2, $\ell=0$ ou $\ell=75$. Comme $\ell\geqslant40$, on a $\ell=75$.

Interprétation : à long terme, selon ce modèle, la population de la colonie se stabilise autour de $75$ oiseaux.

Réponse : $\ell=75$.

Question 4.

La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et converge vers $75$ d'après la question 3. Une suite croissante est toujours inférieure ou égale à sa limite : pour tout $n$, $u_n\leqslant75$.

Donc, pour tout $n$, $u_n<100$.

Avec $p=100$, la condition u < p de la boucle while est donc toujours vérifiée : la boucle ne s'arrête jamais, et l'instruction return(n+2021) n'est jamais atteinte.

Donc l'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur, car la population ne dépasse jamais $75$ oiseaux.

Points clés attendus

• Résoudre $f(x)=x$ en factorisant, et donner les deux solutions $0$ et $75$ appartenant à $[0\,;100]$.

• Justifier la croissance de $f$ par le signe de $f'(x)=0{,}016(100-x)$, et donner $f(0)$ et $f(100)$.

• Récurrence : initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence, utilisation de la croissance de $f$ sur $[0\,;100]$ et de $f(100)=80\leqslant100$, conclusion citant le principe de récurrence.

• Théorème de convergence monotone : suite croissante et majorée.

• Limite : continuité de $f$, équation $f(\ell)=\ell$ et élimination de $0$ grâce à $\ell\geqslant u_0=40$.

• Algorithme : relier $u_n\leqslant75<100$ à la condition de la boucle while.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.