Bac 2022, Polynésie : exercice 2

Données de l'énoncé. On traduit les données en probabilités :

• $20\,\%$ des casques sont des contrefaçons : $P(C)=0{,}2$, donc $P\left(\overline{C}\right)=1-0{,}2=0{,}8$

• $10\,\%$ des casques contrefaits présentent un défaut : $P_C(D)=0{,}1$

• $2\,\%$ des casques non contrefaits présentent un défaut : $P_{\overline{C}}(D)=0{,}02$.

Partie 1

Question 1.

L'évènement $C\cap D$ est « le casque est contrefait et présente un défaut de conception ».

D'après la formule de la probabilité d'une intersection :

Donc la probabilité que le casque soit contrefait et présente un défaut est $0{,}02$.

Réponse : $P(C\cap D)=0{,}02$.

Question 2.

Les évènements $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

On a $P(C\cap D)=0{,}02$ et

Donc

Donc la probabilité que le casque commandé présente un défaut de conception est bien $0{,}036$.

Question 3.

On cherche la probabilité que le casque soit contrefait sachant qu'il a un défaut, c'est-à-dire $P_D(C)$. D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(D)\neq0$) :

Arrondie à $10^{-3}$ près, cette probabilité est $0{,}556$.

Donc, sachant que le casque a un défaut, la probabilité qu'il soit contrefait est d'environ $0{,}556$.

Réponse : $P_D(C)=\dfrac59\approx0{,}556$.

Partie 2

Question 1. a)

On commande $n=35$ casques, ce qui est assimilé à un tirage avec remise : on a donc la répétition de $35$ épreuves identiques et indépendantes.

Chaque épreuve n'a que deux issues : « le casque présente un défaut » (succès), de probabilité $P(D)=0{,}036$ d'après la partie 1, ou « le casque ne présente pas de défaut ».

$X$ compte le nombre de succès parmi ces $35$ épreuves : $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0{,}036$, notée $\mathcal{B}(35\,;0{,}036)$.

Question 1. b)

Pour une loi binomiale, $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$. Avec $k=1$ :

Arrondie à $10^{-3}$ près, cette probabilité est $0{,}362$.

Donc la probabilité qu'exactement un casque présente un défaut est d'environ $0{,}362$.

Réponse : $P(X=1)\approx0{,}362$.

Question 1. c)

L'évènement $\{X\leqslant1\}$ est la réunion des évènements incompatibles $\{X=0\}$ et $\{X=1\}$. Donc

On a $P(X=0)=\dbinom{35}{0}\times0{,}036^0\times0{,}964^{35}=0{,}964^{35}\approx0{,}2771$.

Donc

Arrondie à $10^{-3}$ près, cette probabilité est $0{,}639$.

Donc la probabilité qu'au plus un casque présente un défaut est d'environ $0{,}639$.

Réponse : $P(X\leqslant1)\approx0{,}639$.

Question 2.

Ici $n$ n'est pas fixé. Pour les mêmes raisons qu'à la question 1. a), $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}036)$.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\geqslant1)>0{,}99$.

L'évènement « $X\geqslant1$ » est le contraire de « $X=0$ », et $P(X=0)=0{,}964^n$. Donc

On résout :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $0{,}964<1$, on a $\ln(0{,}964)<0$ : en divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier convenable est $n=126$.

Vérification : pour $n=125$, $1-0{,}964^{125}\approx0{,}9898<0{,}99$   pour $n=126$, $1-0{,}964^{126}\approx0{,}9901>0{,}99$.

Donc il faut commander au minimum $126$ casques pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0{,}99$.

Réponse : $n=126$.

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités nommées : $P(C)$, $P_C(D)$, $P_{\overline{C}}(D)$.

• Citer la partition $\left\{C\,;\overline{C}\right\}$ avant la formule des probabilités totales, puis utiliser la définition de $P_D(C)$.

• Justifier la loi binomiale : $35$ épreuves identiques et indépendantes de Bernoulli de paramètre $0{,}036$ (tirage assimilé à un tirage avec remise).

• Respecter les arrondis demandés ($10^{-3}$) et conclure en contexte.

• Seuil : passer par l'évènement contraire, utiliser la croissance de $\ln$ et changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}964)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.