Bac 2022, Polynésie : exercice 1

Question 1. Réponse a.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.

On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ au produit $x\ln(x)$, avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln(x)$ :

Donc $f'(x)=\ln(x)$ pour tout $x>0$.

Réponse : a. $f'(x)=\ln(x)$.

Question 2. Réponse c.

Pour tout $x>0$, on développe : $g(x)=x^2\left[1-\ln(x)\right]=x^2-x^2\ln(x)$.

Il s'agit d'une limite en $0$ avec une forme indéterminée pour le terme $x^2\ln(x)$ (produit d'un terme de limite $0$ par un terme de limite $-\infty$). On utilise le théorème des croissances comparées : $\lim\limits_{x\to0}x^n\ln(x)=0$ pour tout entier $n\geqslant1$. Avec $n=2$ :

De plus $\lim\limits_{x\to0}x^2=0$. Par différence :

Donc $g$ admet pour limite $0$ en $0$.

Réponse : c. $\lim\limits_{x\to0}g(x)=0$.

Question 3. Réponse d.

Pour tout réel $x$, on factorise : $f(x)=x^3-0{,}9x^2-0{,}1x=x\left(x^2-0{,}9x-0{,}1\right)$.

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $f(x)=0$ équivaut à $x=0$ ou $x^2-0{,}9x-0{,}1=0$.

Le trinôme $x^2-0{,}9x-0{,}1$ a pour discriminant

Il a donc deux racines réelles distinctes :

Ces deux racines sont différentes de $0$. L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement trois solutions : $-0{,}1$, $0$ et $1$.

Réponse : d. $3$ solutions.

Question 4. Réponse c.

On dérive la fonction proposée en c. Soit $K(x)=\dfrac12H(2x)$.

La fonction $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (c'est une primitive de $h$), donc $K$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. D'après la formule de dérivation de $x\longmapsto H(ax+b)$, qui vaut $a\,H'(ax+b)$ :

Donc $K$ est une primitive de $k$ sur $\mathbb{R}$.

Les autres propositions sont à écarter : $\left(H(2x)\right)'=2h(2x)$ pour a, $\left(2H(2x)\right)'=4h(2x)$ pour b, $\left(2H(x)\right)'=2h(x)$ pour d. Aucune de ces dérivées n'est égale à $h(2x)$.

Réponse : c. $K(x)=\dfrac12H(2x)$.

Question 5. Réponse b.

La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On applique $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

Donc $f'(1)=2\mathrm{e}$ et $f(1)=1\times\mathrm{e}^1=\mathrm{e}$.

L'équation de la tangente est :

Donc la tangente a pour équation réduite $y=2\mathrm{e}x-\mathrm{e}$.

Réponse : b. $y=2\mathrm{e}x-\mathrm{e}$.

Question 6. Réponse d.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Comme $0{,}2<1$, on a $\ln(0{,}2)<0$ : en divisant par ce nombre négatif, on change le sens de l'inégalité :

Les entiers $n$ solutions sont donc les entiers $n\geqslant5$.

Vérification : $0{,}2^4=0{,}0016>0{,}001$ et $0{,}2^5=0{,}00032<0{,}001$. Comme la suite $\left(0{,}2^n\right)$ est décroissante, l'inégalité reste vraie pour tout $n\geqslant5$.

Réponse : d. $n\geqslant5$.

Points clés attendus

• Dériver un produit avec $(uv)'=u'v+uv'$ et simplifier le résultat (questions 1 et 5).

• Limite en $0$ : citer le théorème des croissances comparées $\lim\limits_{x\to0}x^n\ln(x)=0$ après avoir développé.

• Nombre de solutions : factoriser par $x$, calculer le discriminant et donner les racines, sans oublier la racine $0$.

• Primitive : dériver la fonction proposée avec la formule de dérivation de $H(ax)$.

• Inéquation avec $\ln$ : croissance de $\ln$ et changement de sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}2)<0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.