Bac 2022, Polynésie : exercice 3

Question 1. a)

On calcule les termes de proche en proche avec $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ et $u_0=1$.

Donc $u_1=\dfrac12$, $u_2=\dfrac13$ et $u_3=\dfrac14$ (fractions irréductibles).

Réponse : $u_1=\dfrac12$, $u_2=\dfrac13$, $u_3=\dfrac14$.

Question 1. b)

La variable u contient le terme courant de la suite. Avant la boucle, elle doit contenir $u_0=1$ : c'est la ligne 3. Dans la boucle, après avoir ajouté le terme courant à la liste, on passe au terme suivant avec $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$ : c'est la ligne 6.

Le script complété est :

def liste(k) :
    L = []
    u = 1
    for i in range(0, k+1) :
        L.append(u)
        u = u/(1+u)
    return(L)

La boucle s'exécute pour $i=0{,}1,\dots,k$, soit $k+1$ fois : la liste renvoyée contient bien $u_0,u_1,\dots,u_k$.

Donc ligne 3 : u = 1   ligne 6 : u = u/(1+u).

Question 2.

On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$. Pour tout entier naturel $n$ :

On admet que $u_n>0$ pour tout $n$. Donc $-u_n^2<0$ et $1+u_n>0$.

Un quotient d'un nombre strictement négatif par un nombre strictement positif est strictement négatif, donc $u_{n+1}-u_n<0$ pour tout $n$.

Donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

Question 3.

On utilise le théorème de convergence monotone (ou de la limite monotone) : toute suite décroissante et minorée converge.

• La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante d'après la question 2.

• La suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $0$, car $u_n>0$ pour tout $n$ (propriété admise).

Les hypothèses sont vérifiées. Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge.

Question 4.

Soit $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$, qui existe d'après la question 3.

Comme $u_n>0$ pour tout $n$, le passage à la limite dans une inégalité large donne $\ell\geqslant0$.

La fonction $f:x\longmapsto\dfrac{x}{1+x}$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ (quotient de fonctions continues dont le dénominateur $1+x$ ne s'annule pas) et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

Comme $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell\in[0\,;+\infty[$ et que $f$ est continue en $\ell$, la suite $\left(f\left(u_n\right)\right)$ converge vers $f(\ell)$. Mais $f\left(u_n\right)=u_{n+1}$ converge aussi vers $\ell$. Par unicité de la limite :

On résout, en multipliant par $1+\ell>0$ :

Donc la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$.

Réponse : $\ell=0$.

Question 5. a)

On a $u_0=1=\dfrac11$, $u_1=\dfrac12$, $u_2=\dfrac13$ et $u_3=\dfrac14$. Le dénominateur de $u_n$ semble être $n+1$.

Donc on conjecture que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.

Réponse : $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.

Question 5. b)

Soit $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $u_n=\dfrac{1}{n+1}$.

Initialisation. On a $u_0=1$ et $\dfrac{1}{0+1}=1$. Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k=\dfrac{1}{k+1}$ (hypothèse de récurrence). Montrons $\mathcal{P}(k+1)$.

Par définition de la suite, puis par hypothèse de récurrence :

On réduit le dénominateur au même dénominateur :

Donc

Donc $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=\dfrac{1}{n+1}$. On retrouve que $\left(u_n\right)$ est décroissante de limite $0$.

Points clés attendus

• Donner les trois termes sous forme de fractions irréductibles, en détaillant chaque calcul.

• Script Python : initialiser u à $u_0$ avant la boucle, puis mettre à jour u après l'avoir ajouté à la liste.

• Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant $u_n>0$ (admis), puis citer le théorème de convergence monotone avec ses deux hypothèses (décroissante et minorée).

• Limite : justifier que $f$ est continue, passer à la limite dans $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et résoudre $\ell=f(\ell)$.

• Récurrence : initialisation, hérédité avec hypothèse de récurrence énoncée, conclusion citant le principe de récurrence.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.