Bac 2022, Nouvelle-Calédonie : exercice 1

Question 1. a)

Les données de l'énoncé se traduisent ainsi : un quart des tirs sont des tirs à deux points, donc

Parmi les tirs à deux points, $60\,\%$ sont réussis :

Parmi les tirs à trois points, $35\,\%$ sont réussis :

Arbre pondéré : deux branches issues de la racine, $D$ (poids $\dfrac14$) et $\overline{D}$ (poids $\dfrac34$). De $D$ partent les branches $R$ (poids $0{,}6$) et $\overline{R}$ (poids $0{,}4$). De $\overline{D}$ partent les branches $R$ (poids $0{,}35$) et $\overline{R}$ (poids $0{,}65$).

Question 1. b)

D'après la formule des probabilités composées (ou définition de la probabilité conditionnelle),

On remplace par les valeurs de l'arbre :

Donc la probabilité que le tir soit un tir à trois points et soit réussi est $0{,}2625$.

Réponse : $p\left(\overline{D}\cap R\right)=0{,}2625$.

Question 1. c)

Les évènements $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier. D'après la formule des probabilités totales,

On calcule chaque terme :

On a obtenu à la question précédente $p\left(\overline{D}\cap R\right)=0{,}2625$. Donc

Donc la probabilité que Stéphanie réussisse un tir est bien égale à $0{,}4125$.

Question 1. d)

On cherche la probabilité que le tir soit un tir à trois points sachant qu'il est réussi, c'est-à-dire $p_R\left(\overline{D}\right)$. On a $p(R)=0{,}4125\neq0$, donc, par définition de la probabilité conditionnelle,

Une valeur approchée est $0{,}6364\ldots$, soit $0{,}64$ au centième.

Donc, sachant que Stéphanie a réussi son tir, la probabilité qu'il s'agisse d'un tir à trois points est environ $0{,}64$.

Réponse : $p_R\left(\overline{D}\right)=\dfrac{7}{11}\approx0{,}64$ (arrondi au centième).

Question 2. a)

On répète $10$ fois la même épreuve : un tir à trois points. Cette épreuve n'a que deux issues : le succès (tir réussi), de probabilité $p=0{,}35$, et l'échec (tir raté), de probabilité $0{,}65$. C'est une épreuve de Bernoulli.

L'énoncé précise que les tirs sont indépendants. Les $10$ épreuves sont donc identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $10$ épreuves. Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0{,}35$, notée $\mathcal{B}(10\,;0{,}35)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(10\,;0{,}35)$.

Question 2. b)

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$, l'espérance vaut $E(X)=np$. Donc

Donc, en répétant un grand nombre de séries de $10$ tirs à trois points, Stéphanie réussit en moyenne $3{,}5$ tirs par série.

Réponse : $E(X)=3{,}5$.

Question 2. c)

Le nombre de tirs ratés est $10-X$. Rater $4$ tirs ou plus s'écrit $10-X\geqslant4$, ce qui équivaut à $X\leqslant6$.

On cherche donc $P(X\leqslant6)$. À la calculatrice, avec la loi binomiale $\mathcal{B}(10\,;0{,}35)$,

Donc la probabilité que Stéphanie rate au moins $4$ tirs est environ $0{,}97$ (arrondie au centième).

Réponse : $P(X\leqslant6)\approx0{,}97$.

Question 2. d)

Rater au plus $4$ tirs s'écrit $10-X\leqslant4$, ce qui équivaut à $X\geqslant6$.

On cherche donc $P(X\geqslant6)$. On a $P(X\geqslant6)=1-P(X\leqslant5)$ et, à la calculatrice,

Donc la probabilité que Stéphanie rate au plus $4$ tirs est environ $0{,}09$ (arrondie au centième).

Réponse : $P(X\geqslant6)\approx0{,}09$.

Question 3.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirs réussis parmi $n$ tirs à trois points. Les tirs sont indépendants et de même probabilité de succès $0{,}35$ : $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}35)$.

L'évènement contraire de « réussir au moins un tir » est « ne réussir aucun tir ». Donc

On cherche le plus petit entier $n\geqslant1$ tel que $1-0{,}65^{n}\geqslant0{,}99$. On résout :

Or $0{,}65<1$, donc $\ln(0{,}65)<0$. En divisant par ce nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité :

Le plus petit entier vérifiant cette condition est $n=11$.

Vérification : $1-0{,}65^{10}\approx0{,}9865<0{,}99$ et $1-0{,}65^{11}\approx0{,}9912\geqslant0{,}99$.

Donc Stéphanie doit réaliser au moins $11$ tirs à trois points pour que la probabilité de réussir au moins un tir soit supérieure ou égale à $0{,}99$.

Réponse : $n=11$.

Points clés attendus

• Traduire correctement les données en probabilités conditionnelles et construire l'arbre pondéré.

• Citer la formule des probabilités totales en précisant que $D$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers.

• Justifier la loi binomiale : $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $n$ et $p$ précisés.

• Passer des tirs ratés aux tirs réussis ($10-X$) avant d'utiliser la calculatrice.

• Résoudre l'inéquation avec le logarithme en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}65)<0$, puis conclure par un entier.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.