Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2022, Métropole : exercice 1

9 septembre 2022 · jour 2 · 7 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Dans le magasin d'Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain.

Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.

On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que:

Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,4$
Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,7$
La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$ .

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0 \leqslant \alpha \leqslant 1$ .

On considère les évènements suivants:

$R$ : « le client loue un vélo de route »
$E$ : « le client loue un vélo électrique »
$\overline{R}$ et $\overline{E}$ , évènements contraires de $R$ et $E$ .

On modélise cette situation aléatoire à l'aide de l'arbre reproduit ci-contre:

Si $F$ désigne un évènement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$ .

Figure de l'énoncé, exercice 1, Métropole 9 septembre 2022

Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
1. Montrer que $p(E) = 0,7 - 0,3\alpha$ .
2. En déduire que : $\alpha = 0,4$ .
On sait que le client a loué un vélo électrique.

Déterminer la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
Le prix de la location à la journée d'un vélo de route non électrique est de $25$ euros, celui d'un vélo tout terrain non électrique de $35$ euros.

Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$ euros.

On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d'un vélo à la journée.
1. Donner la loi de probabilité de $X$ . On présentera les résultats sous forme d'un tableau.
2. Calculer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
Lorsqu'on choisit $30$ clients d'Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise.

On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de $30$ clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.

On rappelle que la probabilité de l'événement $E$ est : $p(E) = 0,58$ .
1. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
3. Déterminer la probabilité qu'un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.

Voir le corrigé

Question 1.

L'énoncé donne les probabilités conditionnelles suivantes :

$p(R)=\alpha$ et $p(\overline{R})=1-\alpha$
si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est $0{,}4$ , donc $p_R(E)=0{,}4$ et $p_R(\overline{E})=1-0{,}4=0{,}6$
si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est $0{,}7$ , donc $p_{\overline{R}}(E)=0{,}7$ et $p_{\overline{R}}(\overline{E})=1-0{,}7=0{,}3$ .

On en déduit l'arbre complété. De $R$ partent deux branches : $E$ pondérée par $0{,}4$ et $\overline{E}$ pondérée par $0{,}6$ . De $\overline{R}$ partent deux branches : $E$ pondérée par $0{,}7$ et $\overline{E}$ pondérée par $0{,}3$ .

Question 2. a)

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers (un client loue soit un vélo de route, soit un vélo tout terrain, et pas les deux).

D'après la formule des probabilités totales :

\begin{aligned} p(E) &= p(R\cap E)+p(\overline{R}\cap E)\\ &= p(R)\times p_R(E)+p(\overline{R})\times p_{\overline{R}}(E)\\ &= \alpha\times 0{,}4+(1-\alpha)\times 0{,}7\\ &= 0{,}4\alpha+0{,}7-0{,}7\alpha\\ &= 0{,}7-0{,}3\alpha. \end{aligned}

Donc $p(E)=0{,}7-0{,}3\alpha$ .

Question 2. b)

On sait que $p(E)=0{,}58$ . D'après la question précédente :

0{,}7-0{,}3\alpha=0{,}58.

On isole $\alpha$ :

0{,}3\alpha=0{,}7-0{,}58=0{,}12.

Donc

\alpha=\dfrac{0{,}12}{0{,}3}=0{,}4.

Donc la probabilité que le client loue un vélo de route est $\alpha=0{,}4$ , et celle qu'il loue un vélo tout terrain est $p(\overline{R})=1-0{,}4=0{,}6$ .

Réponse : $\alpha=0{,}4$ .

Question 3.

On cherche la probabilité que le client ait loué un vélo tout terrain sachant qu'il a loué un vélo électrique, c'est-à-dire $p_E(\overline{R})$ .

D'après la formule des probabilités conditionnelles :

p_E(\overline{R})=\dfrac{p(\overline{R}\cap E)}{p(E)}.

On a

p(\overline{R}\cap E)=p(\overline{R})\times p_{\overline{R}}(E)=0{,}6\times 0{,}7=0{,}42

p(E)=0{,}58

Donc

p_E(\overline{R})=\dfrac{0{,}42}{0{,}58}=\dfrac{21}{29}\approx 0{,}72\quad\text{(arrondi au centième).}

Donc, sachant que le client a loué un vélo électrique, la probabilité qu'il ait loué un vélo tout terrain est d'environ $0{,}72$ .

Réponse : $p_E(\overline{R})=\dfrac{21}{29}\approx 0{,}72$ .

Question 4.

La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est celle de l'évènement $\overline{R}\cap E$ :

p(\overline{R}\cap E)=p(\overline{R})\times p_{\overline{R}}(E)=0{,}6\times 0{,}7=0{,}42.

Donc la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est $0{,}42$ .

Réponse : $p(\overline{R}\cap E)=0{,}42$ .

Question 5. a)

Les prix possibles sont :

$25$ euros : vélo de route non électrique
$25+15=40$ euros : vélo de route électrique
$35$ euros : vélo tout terrain non électrique
$35+15=50$ euros : vélo tout terrain électrique.

Chaque prix correspond à une intersection d'évènements, dont on calcule la probabilité avec l'arbre :

$p(X=25)=p(R\cap\overline{E})=0{,}4\times0{,}6=0{,}24$
$p(X=40)=p(R\cap E)=0{,}4\times0{,}4=0{,}16$
$p(X=35)=p(\overline{R}\cap\overline{E})=0{,}6\times0{,}3=0{,}18$
$p(X=50)=p(\overline{R}\cap E)=0{,}6\times0{,}7=0{,}42$ .

Vérification : $0{,}24+0{,}18+0{,}16+0{,}42=1$ .

Loi de probabilité de $X$ :

valeurs $x_i$ : $25$   $35$   $40$   $50$
probabilités $p(X=x_i)$ : $0{,}24$   $0{,}18$   $0{,}16$   $0{,}42$

Question 5. b)

Par définition de l'espérance :

\begin{aligned} E(X)&=25\times0{,}24+35\times0{,}18+40\times0{,}16+50\times0{,}42\\ &=6+6{,}3+6{,}4+21\\ &=39{,}7. \end{aligned}

Donc, sur un grand nombre de locations, le prix moyen de location d'un vélo à la journée est de $39{,}70$ euros.

Réponse : $E(X)=39{,}7$ euros.

Question 6. a)

On choisit $30$ clients au hasard, ce choix étant assimilé à un tirage avec remise. On répète donc $30$ fois la même épreuve de Bernoulli (un client est choisi, le succès est « il loue un vélo électrique »), de probabilité de succès $p(E)=0{,}58$ , ces épreuves étant identiques et indépendantes.

La variable aléatoire $Y$ compte le nombre de succès. Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}58$ .

Question 6. b)

D'après la formule de la loi binomiale :

p(Y=20)=\binom{30}{20}\times 0{,}58^{20}\times(1-0{,}58)^{10}=\binom{30}{20}\times 0{,}58^{20}\times0{,}42^{10}.

À la calculatrice, on obtient

p(Y=20)\approx 0{,}095\quad\text{(arrondi au millième).}

Donc la probabilité qu'un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique est d'environ $0{,}095$ .

Réponse : $p(Y=20)\approx 0{,}095$ .

Question 6. c)

L'évènement « $Y\geqslant15$ » a pour contraire « $Y\leqslant14$ ». Donc

p(Y\geqslant15)=1-p(Y\leqslant14).

À la calculatrice, $p(Y\leqslant14)\approx0{,}142$ . Donc

p(Y\geqslant15)\approx 1-0{,}142=0{,}858\quad\text{(arrondi au millième).}

Donc la probabilité qu'un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est d'environ $0{,}858$ .

Réponse : $p(Y\geqslant15)\approx 0{,}858$ .

Points clés attendus

Citer la formule des probabilités totales en précisant la partition $\{R\,;\overline{R}\}$ .
Utiliser la formule des probabilités conditionnelles pour $p_E(\overline{R})$ , en distinguant $p(\overline{R}\cap E)$ de $p_{\overline{R}}(E)$ .
Vérifier que la somme des probabilités de la loi de $X$ vaut $1$ avant de calculer l'espérance.
Justifier la loi binomiale : $30$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), avec les paramètres $n=30$ et $p=0{,}58$ .
Passer par l'évènement contraire pour « au moins $15$ » et respecter l'arrondi au millième.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Métropole, 9 septembre 2022 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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