Bac 2022, Métropole : exercice 4

Question 1. a)

On calcule le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ coordonnée par coordonnée :

Le vecteur $\vec u\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ est colinéaire à $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ : c'est un vecteur directeur de $\Delta$.

Pour $t=0$, la représentation donne $(-1\,;6\,;8)$, c'est-à-dire D. Pour $t=3$, elle donne $(-1+12\,;6-15\,;8-6)=(11\,;-9\,;2)$, c'est-à-dire E.

La représentation proposée est celle de la droite passant par D, de vecteur directeur $\vec u$, et passant par E : c'est bien une représentation paramétrique de $\Delta=(\mathrm{DE})$.

Question 1. b)

La droite $\Delta'$ est parallèle à $\Delta$, donc elle a le même vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$. Elle passe par $\mathrm{O}(0\,;0\,;0)$.

Une représentation paramétrique de $\Delta'$ est

Réponse : $\Delta'$ : $x=4t$, $y=-5t$, $z=-2t$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 1. c)

Si F$(1{,}36\,;-1{,}7\,;-0{,}7)$ appartenait à $\Delta'$, il existerait un réel $t$ vérifiant les trois équations.

La première donne $4t=1{,}36$, donc $t=0{,}34$.

La deuxième donne $-5\times0{,}34=-1{,}7$ : elle est vérifiée.

La troisième donne $-2\times0{,}34=-0{,}68\neq-0{,}7$ : elle n'est pas vérifiée.

Donc F n'appartient pas à la droite $\Delta'$.

Réponse : non.

Question 2. a)

On calcule :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ne l'est pas, et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\neq\vec 0$.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 2. b)

Le vecteur $\vec u\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ dirige $\Delta$. On calcule :

Le vecteur $\vec u$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). Donc $\vec u$ est normal à ce plan, et la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC).

Question 2. c)

Le vecteur $\vec u$ étant normal à (ABC), ce plan admet une équation de la forme $4x-5y-2z+d=0$.

Le point A appartient au plan : $4\times(-1)-5\times(-1)-2\times3+d=0$, soit $-4+5-6+d=0$, donc $d=5$.

Une équation cartésienne de (ABC) est donc $4x-5y-2z+5=0$.

Vérification avec les autres points :

• B : $4-5-4+5=0$

• C : $4+5-14+5=0$.

Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne $4x-5y-2z+5=0$.

Question 3. a)

Pour $t=2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ :

On retrouve les coordonnées de G. Donc G$(7\,;-4\,;4)$ appartient à $\Delta$.

Question 3. b)

La droite $\Delta$ passe par G et est perpendiculaire au plan (ABC). Donc le projeté orthogonal H de G sur (ABC) est le point d'intersection de $\Delta$ et de (ABC).

Un point de $\Delta$ a pour coordonnées $(-1+4t\,;6-5t\,;8-2t)$. Il appartient à (ABC) si et seulement si

On développe :

Pour $t=1$ : $x=3$, $y=1$, $z=6$.

Donc H$(3\,;1\,;6)$.

Réponse : H$(3\,;1\,;6)$.

Question 3. c)

La distance de G au plan (ABC) est la distance GH. On calcule

donc

Donc la distance du point G au plan (ABC) est égale à $3\sqrt5$.

Question 4. a)

On a $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$ :

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont orthogonaux, donc le triangle ABC est rectangle en A.

Question 4. b)

On prend pour base le triangle ABC, rectangle en A. On calcule les longueurs des côtés de l'angle droit :

L'aire de la base est

La hauteur associée à cette base est la distance de G au plan (ABC), soit $h=3\sqrt5$ d'après la question 3. c).

D'après la formule du volume d'un tétraèdre :

Donc le volume du tétraèdre ABCG est $15$ unités de volume.

Réponse : $V=15$.

Points clés attendus

• Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée et justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

• Montrer l'orthogonalité du vecteur directeur de $\Delta$ avec deux vecteurs non colinéaires du plan pour conclure à la perpendicularité.

• Déterminer l'équation cartésienne avec un point du plan et vérifier avec les autres.

• Obtenir le projeté orthogonal comme intersection de la perpendiculaire et du plan, en résolvant l'équation en $t$.

• Citer la formule du volume avec la base et la hauteur correspondantes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.