Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2022, Métropole : exercice 3

11 mai 2022 · 7 points Python

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.

Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.

Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage.

On interroge au hasard un salarié de l'entreprise et on considère les évènements:
- $F$ : « le salarié interrogé est une femme »,
- $S$ : « le salarié interrogé a suivi le stage ».
$\overline{F}$ et $\overline{S}$ désignent respectivement les évènements contraires des évènements $F$ et $S$ .

a. Donner la probabilité de l'évènement $S$ .

b. Recopier et compléter les pointillés de l'arbre pondéré ci-contre sur les quatre branches indiquées.

c. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$ .

d. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l'entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage.

Justifier l'affirmation du directeur.

Figure de l'énoncé, exercice 3, Métropole 11 mai 2022

On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $20$ salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l'effectif des salariés de l'entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ .
2. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que $5$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
3. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale $(i, n, p)$ créée pour l'occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X = i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ .
```
def proba(k):
      P=0
     for i in range(0,k+1) :
         P=P+binomiale(i,20,0.25)
     return P
```
  Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l'on saisit proba(5) dans la console Python.
  
  Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
4. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu'au moins $6$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
Cette question est indépendante des questions 1 et 2.

Pour inciter les salariés à suivre le stage, l'entreprise avait décidé d'augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d'augmentation pour les salariés n'ayant pas suivi le stage.

Quel est le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?

Voir le corrigé

Question 1. a) Le stage a été suivi par $25\,\%$ des salariés. Le salarié étant interrogé au hasard, on a donc

P(S)=0{,}25.

Question 1. b) On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

$52\,\%$ des salariés sont des femmes : $P(F)=0{,}52$
parmi les femmes, $40\,\%$ ont suivi le stage : $P_F(S)=0{,}4$

et on en déduit, par évènements contraires :

$P_F(\overline{S})=1-P_F(S)=1-0{,}4=0{,}6$
$P(\overline{F})=1-P(F)=1-0{,}52=0{,}48$ .

Les quatre branches à compléter portent donc : $P(F)=0{,}52$   $P_F(S)=0{,}4$   $P_F(\overline{S})=0{,}6$   $P(\overline{F})=0{,}48$ .

Question 1. c) La probabilité d'une intersection se calcule avec la formule des probabilités conditionnelles :

P(F\cap S)=P(F)\times P_F(S)=0{,}52\times 0{,}4=0{,}208.

Donc la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0{,}208$ .

Question 1. d) On cherche $P_S(F)$ . Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(S)=0{,}25\neq 0$ ) :

P_S(F)=\dfrac{P(F\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0{,}208}{0{,}25}=0{,}832.

Donc, sachant que la personne interrogée a suivi le stage, la probabilité que ce soit une femme est $0{,}832$ .

Réponse : $P_S(F)=0{,}832$ .

Question 1. e) Les évènements $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :

P(S)=P(F\cap S)+P(\overline{F}\cap S).

On en déduit

P(\overline{F}\cap S)=P(S)-P(F\cap S)=0{,}25-0{,}208=0{,}042.

La proportion d'hommes ayant suivi le stage est la probabilité conditionnelle $P_{\overline{F}}(S)$ :

P_{\overline{F}}(S)=\dfrac{P(\overline{F}\cap S)}{P(\overline{F})}=\dfrac{0{,}042}{0{,}48}=0{,}0875.

Comme $0{,}0875<0{,}1$ , la proportion d'hommes ayant suivi le stage est de $8{,}75\,\%$ , donc inférieure à $10\,\%$ .

L'affirmation du directeur est justifiée.

Question 2. a) On prélève $20$ salariés. Le choix est assimilé à un tirage avec remise, donc :

on répète $20$ fois la même épreuve, et ces épreuves sont identiques et indépendantes
chaque épreuve a deux issues : le salarié a suivi le stage (succès), de probabilité $p=0{,}25$ , ou non
$X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}25$ .

Question 2. b) D'après la formule de la loi binomiale :

P(X=5)=\binom{20}{5}\times 0{,}25^5\times 0{,}75^{15}=15504\times 0{,}25^5\times 0{,}75^{15}.

À la calculatrice, $P(X=5)\approx 0{,}202$ (arrondi au millième).

Donc la probabilité que $5$ salariés d'un échantillon de $20$ aient suivi le stage est d'environ $0{,}202$ .

Réponse : $P(X=5)\approx 0{,}202$ .

Question 2. c) La variable P est initialisée à $0$ , puis la boucle ajoute successivement $P(X=i)$ pour $i=0{,}1,\dots,5$ .

La valeur renvoyée par proba(5) est donc

\sum_{i=0}^{5}P(X=i)=P(X\leqslant 5).

À la calculatrice, $P(X\leqslant 5)\approx 0{,}617$ (arrondi au millième).

Interprétation : la probabilité qu'au plus $5$ salariés d'un échantillon de $20$ aient suivi le stage est d'environ $0{,}617$ .

Réponse : $0{,}617$ .

Question 2. d) L'évènement « au moins $6$ salariés ont suivi le stage » est le contraire de « au plus $5$ salariés ont suivi le stage » :

P(X\geqslant 6)=1-P(X\leqslant 5)\approx 1-0{,}617=0{,}383.

Le calcul avec la valeur non arrondie de $P(X\leqslant 5)$ donne aussi $0{,}383$ au millième.

Donc la probabilité qu'au moins $6$ salariés d'un échantillon de $20$ aient suivi le stage est d'environ $0{,}383$ .

Réponse : $P(X\geqslant 6)\approx 0{,}383$ .

Question 3. Une proportion $0{,}25$ des salariés a suivi le stage et voit son salaire augmenter de $5\,\%$ , soit un coefficient multiplicateur de $1{,}05$ .

Une proportion $0{,}75$ des salariés n'a pas suivi le stage et voit son salaire augmenter de $2\,\%$ , soit un coefficient multiplicateur de $1{,}02$ .

On suppose, comme l'énoncé ne donne pas d'autre information, que les salaires sont comparables dans les deux groupes. Le coefficient multiplicateur moyen est alors

0{,}25\times 1{,}05+0{,}75\times 1{,}02=0{,}2625+0{,}765=1{,}0275.

Or $1{,}0275=1+\dfrac{2{,}75}{100}$ .

Donc le pourcentage moyen d'augmentation des salaires est de $2{,}75\,\%$ .

Réponse : $2{,}75\,\%$ .

Points clés attendus

Traduire les données en probabilités ( $P(F)$ , $P_F(S)$ , $P(S)$ ) et citer la formule $P(F\cap S)=P(F)\times P_F(S)$ .
Pour la question 1. e), citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{F\,;\,\overline{F}\}$ , puis calculer $P_{\overline{F}}(S)$ et la comparer à $0{,}1$ .
Justifier la loi binomiale : $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), de probabilité de succès $0{,}25$ .
Reconnaître que proba(5) calcule $P(X\leqslant 5)$ , et passer par l'évènement contraire pour $P(X\geqslant 6)$ .
Pour la question 3, utiliser une moyenne pondérée des coefficients multiplicateurs $1{,}05$ et $1{,}02$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2022 (Métropole, 11 mai 2022), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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