Bac 2026, Métropole : exercice 4

Partie A

Question 1. Le point $A(0\,;1)$ appartient à la courbe représentative de $f$, donc $f(0)=1$.

Par ailleurs

car $\ln 1=0$.

Donc $a=1$.

Question 2. a) Le nombre dérivé $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $0$, c'est-à-dire de la droite $T_{\mathrm{A}}$.

Cette droite passe par $A(0\,;1)$ et, d'après le graphique, par le point $(1\,;5)$ (intersection de lignes du quadrillage).

Donc

Réponse : $f'(0)=4$.

Question 2. b) Sur le graphique, la courbe est au voisinage de $x=1$ située sous ses tangentes : elle est concave en ce point. De même, la pente de la courbe passe de $4$ en $x=0$ à une valeur nulle au maximum (vers $x=1{,}7$) : $f'$ est décroissante autour de $x=1$.

Or la fonction $f$ est concave sur un intervalle lorsque $f''\leqslant 0$ sur cet intervalle, et $f''$ est la dérivée de $f'$.

Donc $f''(1)<0$.

Réponse : $f''(1)<0$.

Question 3. a) La fonction $f$ est dérivable sur $]-1\,;+\infty[$ (admis). On écrit $f(x)=a+b\,\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec

où $u$ et $v$ sont dérivables sur $]-1\,;+\infty[$ et $v$ ne s'y annule pas ($x+1>0$).

D'après la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$, on a pour tout $x>-1$ :

Question 3. b) On calcule $f'(0)$ avec la formule précédente :

D'après la question 2. a), $f'(0)=4$.

Donc $b=4$.

Réponse : $a=1$ et $b=4$.

Partie B

On a $f(x)=1+\dfrac{4\ln(x+1)}{x+1}$ sur $]-1\,;+\infty[$.

Question 1. On étudie la limite de $f$ en $+\infty$. On pose $X=x+1$ : quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\ln X}{X}=0$.

Par limite d'une composée, $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}=0$.

Donc

Donc la droite d'équation $y=1$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$ en $+\infty$.

Question 2. Pour tout $x>-1$ :

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation sur $]-1\,;+\infty[$ est $]-1\,;\mathrm{e}-1[$.

Réponse : $S=\,]-1\,;\mathrm{e}-1[$.

Question 3. Dérivée. D'après la partie A, pour tout $x>-1$,

Signe de $f'$. Le dénominateur $(x+1)^{2}$ est strictement positif sur $]-1\,;+\infty[$ et $4>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $1-\ln(x+1)$.

D'après la question 2, $1-\ln(x+1)>0$ sur $]-1\,;\mathrm{e}-1[$, $1-\ln(x+1)=0$ pour $x=\mathrm{e}-1$ et $1-\ln(x+1)<0$ sur $]\mathrm{e}-1\,;+\infty[$.

Variations. Donc $f'>0$ sur $]-1\,;\mathrm{e}-1[$ et $f'<0$ sur $]\mathrm{e}-1\,;+\infty[$ :

• $f$ est strictement croissante sur $]-1\,;\mathrm{e}-1]$

• $f$ est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}-1\,;+\infty[$.

Extremum. La fonction $f$ admet un maximum en $x=\mathrm{e}-1$. Comme $(\mathrm{e}-1)+1=\mathrm{e}$ et $\ln \mathrm{e}=1$ :

Tableau de variation, décrit en phrases : sur $]-1\,;+\infty[$, $f$ part de $-\infty$ (limite en $-1$, admise), croît jusqu'à la valeur maximale $1+\dfrac4{\mathrm{e}}$ atteinte en $x=\mathrm{e}-1$, puis décroît vers $1$ (limite en $+\infty$, question 1).

Donc le maximum de $f$ est $1+\dfrac{4}{\mathrm{e}}$, atteint en $x=\mathrm{e}-1$.

Question 4. Sur l'intervalle $[2\,;+\infty[$, on vérifie les hypothèses du théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).

• $f$ est continue sur $[2\,;+\infty[$, car dérivable sur $]-1\,;+\infty[$.

• $f$ est strictement décroissante sur $[2\,;+\infty[$, car $\mathrm{e}-1\approx 1{,}72<2$, donc cet intervalle est contenu dans $[\mathrm{e}-1\,;+\infty[$.

• $f(2)=1+\dfrac{4\ln 3}{3}\approx 2{,}46$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1$ : donc $f$ réalise une bijection de $[2\,;+\infty[$ sur $]1\,;f(2)]$.

Le réel $1{,}5$ appartient à $]1\,;2{,}46]$, donc d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=1{,}5$ admet une unique solution $x_0$ dans $[2\,;+\infty[$.

Valeur approchée. À la calculatrice, $f(25{,}05)\approx 1{,}5006>1{,}5$ et $f(25{,}15)\approx 1{,}4993<1{,}5$. La fonction $f$ étant strictement décroissante, $f(25{,}15)<f(x_0)<f(25{,}05)$ donne $25{,}05<x_0<25{,}15$.

Donc $x_0\approx 25{,}1$ (valeur arrondie à $10^{-1}$).

Réponse : $x_0\approx 25{,}1$.

Question 5. a) Sur $]-1\,;+\infty[$, la fonction $x\mapsto\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}$ est de la forme $u'u$ avec $u(x)=\ln(x+1)$ et $u'(x)=\dfrac{1}{x+1}$.

Une primitive de $u'u$ est $\dfrac12u^{2}$, donc une primitive de cette fonction est $x\mapsto\dfrac12\big(\ln(x+1)\big)^{2}$.

On en déduit

car $\ln 1=0$.

Question 5. b) Sur $[0\,;2]$, on a $x+1\geqslant 1$, donc $\ln(x+1)\geqslant 0$ et $\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}\geqslant 0$. Donc $f(x)\geqslant 1>0$ : la fonction $f$ est continue et positive sur $[0\,;2]$.

L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe de $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ est donc, en unités d'aire,

Par linéarité de l'intégrale :

Donc l'aire du domaine est $2+2(\ln 3)^{2}$ unités d'aire, soit environ $4{,}41$ unités d'aire.

Réponse : $\mathcal{A}=2+2(\ln 3)^{2}\approx 4{,}41$ unités d'aire.

Points clés attendus

• Utiliser $\ln 1=0$ pour $a$, et le coefficient directeur de la tangente lu sur le graphique pour $f'(0)$.

• Dériver avec la formule du quotient en détaillant $u$, $v$, $u'$, $v'$, puis justifier le signe de $f'$ (dénominateur strictement positif).

• Citer les croissances comparées pour la limite en $+\infty$ et en déduire l'asymptote.

• Pour l'équation $f(x)=1{,}5$, vérifier continuité, stricte monotonie et valeurs aux bornes avant de citer le théorème de la bijection, puis encadrer la solution.

• Reconnaître la forme $u'u$ pour l'intégrale, et justifier la positivité de $f$ avant d'écrire l'aire comme une intégrale.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.