Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 4

Partie A

Question 1.

Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $1$.

La tangente $T$ passe par A$(1\,;0)$ et par B$(0\,;-2)$. Son coefficient directeur vaut donc

Donc $f'(1)=2$.

Réponse : $f'(1)=2$.

Question 2.

Une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa courbe est située en dessous de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.

Sur le graphique, après le point A (pour $x>1$), la courbe $\mathcal{C}$ est située au-dessus de la tangente $T$.

Donc la fonction $f$ n'est pas concave sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$.

Question 3.

Sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la tangente $T$ avant A et au-dessus après A : elle traverse sa tangente en A.

Un point où la courbe traverse sa tangente est un point d'inflexion, c'est-à-dire un point où la convexité change : la fonction $f''$ s'annule en changeant de signe en $x=1$.

Donc $f''(1)=0$.

Réponse : $f''(1)=0$.

Partie B

Question 1.

Lorsque $x$ tend vers $\dfrac{1}{2}$ par valeurs supérieures, on a :

• $\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}x=\dfrac{1}{2}$

• $\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}(2x-1)=0^{+}$, donc par composition avec $\lim\limits_{X\to0^{+}}\ln X=-\infty$, $\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}\ln(2x-1)=-\infty$.

Par produit, une limite finie strictement positive multipliée par une limite égale à $-\infty$ donne

Interprétation graphique : la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$ pour asymptote verticale.

Réponse : $\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}f(x)=-\infty$.

Question 2.

Soit $x\in\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul :

Or $x=0$ n'appartient pas à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$.

Et $\ln(2x-1)=0\iff2x-1=1\iff x=1$, valeur qui appartient à l'intervalle.

Donc l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$ est $\{1\}$.

Réponse : $S=\{1\}$.

Question 3. a)

On dérive $f'(x)=\ln(2x-1)+\dfrac{2x}{2x-1}$ sur $\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$.

Pour le premier terme, $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=2x-1$ (strictement positive) :

Pour le second terme, on utilise la formule du quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ avec $u(x)=2x$ et $v(x)=2x-1$ :

Donc

Question 3. b)

Un point d'inflexion de $\mathcal{C}$ correspond à un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Pour tout $x>\dfrac{1}{2}$, $(2x-1)^{2}>0$ : le signe de $f''(x)$ est celui de $4(x-1)$, donc celui de $x-1$.

Donc :

• $f''(x)<0$ pour $x\in\left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[$ : $f$ est concave sur cet intervalle

• $f''(1)=0$

• $f''(x)>0$ pour $x\in]1\,;+\infty[$ : $f$ est convexe sur cet intervalle.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe uniquement en $x=1$ : la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $1$.

D'après la question 2, $f(1)=0$ : ce point d'inflexion est A$(1\,;0)$.

D'après la question 2 également, $1$ est la seule solution de $f(x)=0$ : A est donc l'unique point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

Donc $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion, et ce point est l'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

Question 4. a)

Soit $x\in[1\,;2]$.

• $x\geqslant1>0$

• $2x-1\geqslant2\times1-1=1$, et la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ avec $\ln1=0$, donc $\ln(2x-1)\geqslant0$.

Le produit de deux nombres positifs est positif.

Donc $f(x)=x\ln(2x-1)\geqslant0$ pour tout $x\in[1\,;2]$ : la fonction $f$ est positive sur $[1\,;2]$.

Question 4. b)

D'après l'égalité admise, pour tout $x\in\left]\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[$ :

On cherche une primitive de chaque terme sur $[1\,;2]$ :

• une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{2}x$ est $x\mapsto\dfrac{x^{2}}{4}$

• une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{4}$ est $x\mapsto\dfrac{x}{4}$

• la fonction $x\mapsto\dfrac{2}{2x-1}$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=2x-1>0$, donc une primitive de $x\mapsto\dfrac{1}{8}\times\dfrac{2}{2x-1}$ est $x\mapsto\dfrac{1}{8}\ln(2x-1)$.

Donc

Question 4. c)

La fonction $f$ est continue et positive sur $[1\,;2]$ (question 4. a).

Donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$ est, en unités d'aire,

On effectue une intégration par parties en posant, sur $[1\,;2]$ :

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[1\,;2]$, donc

On simplifie l'intégrande : $\dfrac{x^{2}}{2}\times\dfrac{2}{2x-1}=\dfrac{x^{2}}{2x-1}$.

On calcule le crochet :

D'après la question 4. b), il vient

Donc l'aire du domaine vaut $\dfrac{15}{8}\ln3-1$ unité d'aire, soit environ $1{,}06$ unité d'aire au centième près.

Réponse : $\mathcal{A}=\dfrac{15}{8}\ln3-1\approx1{,}06$ unité d'aire.

Partie C

Question 1.

Soit $a>0$. Un point d'inflexion de $\mathcal{C}_a$ correspond à un point où $f_a''$ s'annule en changeant de signe.

Pour tout $x>\dfrac{1}{a}$, on a $a>0$ et $(ax-1)^{2}>0$ : le signe de $f_a''(x)$ est celui de $ax-2$.

Comme $a>0$, on a $ax-2<0\iff x<\dfrac{2}{a}$, et $ax-2=0\iff x=\dfrac{2}{a}$.

Le réel $\dfrac{2}{a}$ appartient à l'intervalle $\left]\dfrac{1}{a}\,;+\infty\right[$, car $\dfrac{2}{a}>\dfrac{1}{a}$.

Donc :

• $f_a''(x)<0$ pour $x\in\left]\dfrac{1}{a}\,;\dfrac{2}{a}\right[$

• $f_a''\left(\dfrac{2}{a}\right)=0$

• $f_a''(x)>0$ pour $x\in\left]\dfrac{2}{a}\,;+\infty\right[$.

La dérivée seconde $f_a''$ s'annule en changeant de signe uniquement en $\dfrac{2}{a}$.

Donc, pour tout réel $a>0$, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion $\mathrm{A}_a$, d'abscisse $\dfrac{2}{a}$.

Question 2.

L'ordonnée de $\mathrm{A}_a$ est

Donc $\mathrm{A}_a$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{a}\,;0\right)$.

Tous les points $\mathrm{A}_a$ ont une ordonnée nulle : ils appartiennent tous à l'axe des abscisses.

Donc les points $\mathrm{A}_a$, pour $a\in]0\,;+\infty[$, sont alignés (sur la droite d'équation $y=0$).

Points clés attendus

• Lire $f'(1)$ comme le coefficient directeur de la tangente, et justifier la non-concavité et $f''(1)=0$ par la position de la courbe par rapport à sa tangente et le changement de convexité en A.

• Justifier la limite en $\dfrac{1}{2}$ par composition ($2x-1\to0^{+}$, puis $\ln\to-\infty$) et en déduire l'asymptote verticale.

• Pour le point d'inflexion : étudier le signe de $f''$ et montrer qu'elle change de signe en $1$, puis utiliser $f(1)=0$.

• Pour l'aire : vérifier que $f$ est positive sur $[1\,;2]$, poser $u$, $u'$, $v$, $v'$ dans l'intégration par parties et réutiliser le résultat de la question 4. b).

• Dans la partie C, étudier le signe de $f_a''$ en fonction du signe de $ax-2$ et calculer l'ordonnée de $\mathrm{A}_a$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.