Bac 2026, Antilles-Guyane : exercice 3

Affirmation 1. Vraie.

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

• $\overrightarrow{SA}\left(2-(-1)\,;\,\sqrt{2}-\sqrt{2}\,;\,-1-(-4)\right)$, soit $\overrightarrow{SA}(3\,;\,0\,;\,3)$

• $\overrightarrow{AB}\left(1-2\,;\,\sqrt{2}-\sqrt{2}\,;\,0-(-1)\right)$, soit $\overrightarrow{AB}(-1\,;\,0\,;\,1)$

• $\overrightarrow{AC}\left(2-2\,;\,0-\sqrt{2}\,;\,-1-(-1)\right)$, soit $\overrightarrow{AC}(0\,;\,-\sqrt{2}\,;\,0)$.

Les produits scalaires, dans le repère orthonormé, valent :

Les points A, B, C ne sont pas alignés (admis) : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et dirigent le plan (ABC). On le voit aussi directement, car $\overrightarrow{AB}$ a une première coordonnée non nulle alors que celle de $\overrightarrow{AC}$ est nulle, et $\overrightarrow{AC}$ n'est pas nul.

Le vecteur $\overrightarrow{SA}$ est non nul et orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc $\overrightarrow{SA}$ est un vecteur normal au plan (ABC) : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Fausse.

On a $\overrightarrow{SB}\left(1-(-1)\,;\,\sqrt{2}-\sqrt{2}\,;\,0-(-4)\right)$, soit $\overrightarrow{SB}(2\,;\,0\,;\,4)$.

La droite (SB) passe par S et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{SB}$ : une représentation paramétrique est

Un point commun à (SB) et $d$ correspond à des réels $s$ et $k$ vérifiant le système

La deuxième équation donne $k=1$.

La première équation devient $-1+2s=1$, donc $s=1$.

La troisième équation donne alors $-4+4\times1=0$ d'un côté et $-1-1=-2$ de l'autre. Or $0\neq-2$ : le système n'a pas de solution.

Les droites (SB) et $d$ n'ont donc aucun point commun : elles ne sont pas sécantes.

Pour information, un vecteur directeur de $d$ est $(-1\,;\,\sqrt{2}\,;\,-1)$, qui n'est pas colinéaire à $(2\,;\,0\,;\,4)$ : les droites ne sont pas parallèles, elles sont non coplanaires.

Donc l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Vraie.

Un vecteur directeur de la droite $d$ se lit sur la représentation paramétrique : $\vec{u}(-1\,;\,\sqrt{2}\,;\,-1)$.

Une équation cartésienne du plan $P$ est $x-z+1=0$ : un vecteur normal à $P$ est $\vec{n}(1\,;\,0\,;\,-1)$.

On calcule le produit scalaire :

Le vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal de $P$ : il est parallèle au plan $P$, donc la droite $d$ est parallèle au plan $P$ (au sens large).

Précision : le point de $d$ obtenu pour $k=0$ est $(2\,;\,0\,;\,-1)$ et il vérifie $2-(-1)+1=4\neq0$, donc il n'est pas dans $P$ : la droite $d$ est strictement parallèle à $P$.

Donc l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

Le projeté orthogonal de S sur $P$ est l'unique point H de $P$ tel que $\overrightarrow{SH}$ soit orthogonal à $P$, c'est-à-dire colinéaire à un vecteur normal de $P$.

Vérifions ces deux conditions pour H$(-3\,;\,\sqrt{2}\,;\,-2)$ :

• H appartient à $P$ : $-3-(-2)+1=-3+2+1=0$

• $\overrightarrow{SH}\left(-3-(-1)\,;\,\sqrt{2}-\sqrt{2}\,;\,-2-(-4)\right)$, soit $\overrightarrow{SH}(-2\,;\,0\,;\,2)=-2\,\vec{n}$ avec $\vec{n}(1\,;\,0\,;\,-1)$.

Le vecteur $\overrightarrow{SH}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$ de $P$ : la droite (SH) est orthogonale à $P$ et coupe $P$ en H.

Donc H est le projeté orthogonal de S sur $P$ : l'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

• Pour un vecteur normal à un plan, vérifier l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan et que le vecteur est non nul.

• Pour des droites sécantes, écrire un système de trois équations en deux paramètres distincts et conclure à l'absence de solution.

• Pour le parallélisme droite-plan, calculer le produit scalaire d'un vecteur directeur de la droite et d'un vecteur normal du plan.

• Pour le projeté orthogonal, vérifier deux conditions : appartenance au plan et colinéarité de $\overrightarrow{SH}$ avec un vecteur normal.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.