Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 4

Question 1.

On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.

Donc, par composition avec la fonction carré, $\lim\limits_{x\to+\infty}(\ln x)^{2}=+\infty$.

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$.

Par produit de deux fonctions de limite $+\infty$ :

Donc la fonction $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. a)

Soit $x>0$. Alors $\sqrt{x}>0$, donc $g\left(\sqrt x\right)$ est bien défini.

Par définition de $g$ :

Or $\sqrt x=x^{1/2}$, donc $\ln\left(\sqrt x\right)=\dfrac12\ln x$.

Ainsi

On élève au carré, sachant que $\left(\sqrt x\right)^{2}=x$ :

On multiplie par $4$ :

Donc, pour tout réel $x>0$, $f(x)=4\left(g\left(\sqrt x\right)\right)^{2}$.

Question 2. b)

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{X\to0^{+}}X\ln X=0$.

Donc $\lim\limits_{X\to0^{+}}g(X)=0$.

Par ailleurs $\lim\limits_{x\to0^{+}}\sqrt x=0$, avec $\sqrt x>0$ pour $x>0$.

Par limite d'une composée :

D'après la question 2. a), $f(x)=4\left(g\left(\sqrt x\right)\right)^{2}$, donc par produit et composition avec la fonction carré :

Donc $f$ admet pour limite $0$ en $0$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$.

Question 3. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis par l'énoncé). On l'écrit $f=uv$ avec

La fonction $u$ a pour dérivée $u'(x)=1$.

La fonction $v$ est de la forme $w^{2}$ avec $w=\ln$, donc $v'=2w'w$ et

D'après la formule de dérivation d'un produit, $(uv)'=u'v+uv'$ :

On simplifie par $x\neq0$ :

On factorise par $\ln x$ :

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=(\ln x)(2+\ln x)$.

Question 3. b)

Le signe de $f'(x)$ est celui du produit de deux facteurs, $\ln x$ et $\ln x+2$.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc :

• $\ln x>0\iff x>1$, et $\ln x=0\iff x=1$

• $\ln x+2>0\iff\ln x>-2\iff x>\mathrm{e}^{-2}$, et $\ln x+2=0\iff x=\mathrm{e}^{-2}$.

On en déduit le signe de $f'(x)$ :

• sur $]0\,;\mathrm{e}^{-2}[$, les deux facteurs sont strictement négatifs, donc $f'(x)>0$

• sur $]\mathrm{e}^{-2}\,;1[$, on a $\ln x+2>0$ et $\ln x<0$, donc $f'(x)<0$

• sur $]1\,;+\infty[$, les deux facteurs sont strictement positifs, donc $f'(x)>0$

• $f'(\mathrm{e}^{-2})=f'(1)=0$.

Calcul des valeurs aux points remarquables :

Avec les limites des questions 1 et 2. b), les variations de $f$ sont donc les suivantes.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{-2}]$, de la limite $0$ en $0$ jusqu'à la valeur $4\mathrm{e}^{-2}$.

Elle est strictement décroissante sur $[\mathrm{e}^{-2}\,;1]$, de $4\mathrm{e}^{-2}$ jusqu'à $0$.

Elle est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$, de $0$ jusqu'à la limite $+\infty$.

Question 3. c)

D'après les variations établies à la question 3. b), sur $]0\,;1]$ la fonction $f$ est croissante sur $]0\,;\mathrm{e}^{-2}]$ puis décroissante sur $[\mathrm{e}^{-2}\,;1]$.

Donc, pour tout $x\in]0\,;1]$, $f(x)\leqslant f(\mathrm{e}^{-2})$, et cette valeur est atteinte.

Donc le maximum de $f$ sur $]0\,;1]$ est atteint en $\mathrm{e}^{-2}$ et vaut $f(\mathrm{e}^{-2})=4\mathrm{e}^{-2}$.

Réponse : $4\mathrm{e}^{-2}$ (soit environ $0{,}541$).

Question 4. a)

Sur $]0\,;1]$. D'après la question 3. c), pour tout $x\in]0\,;1]$ :

Donc l'équation $f(x)=2$ n'a aucune solution sur $]0\,;1]$.

Sur $[1\,;+\infty[$. Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions strictement monotones). Vérifions ses hypothèses :

• $f$ est dérivable, donc continue, sur $[1\,;+\infty[$

• $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ (question 3. b)

• $f(1)=0<2$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, donc $2$ est une valeur comprise entre $f(1)$ et la limite de $f$ en $+\infty$.

Donc l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur $[1\,;+\infty[$.

Comme elle n'a aucune solution sur $]0\,;1]$, elle admet une unique solution $\alpha$ sur $]0\,;+\infty[$.

Question 4. b)

À la calculatrice :

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$ et $f(2{,}4)<f(\alpha)=2<f(2{,}5)$.

Donc $2{,}4<\alpha<2{,}5$.

Réponse : $2{,}4<\alpha<2{,}5$ (on a en fait $\alpha\approx2{,}463$).

Question 5. a)

Pour $x\in]0\,;1]$, $f(x)=x(\ln x)^{2}\geqslant0$ : la fonction $f$ est positive sur $[a\,;1]$.

Donc l'intégrale $\displaystyle\int_a^1f(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=1$.

Question 5. b)

On pose, pour $x\in[a\,;1]$,

d'où

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a\,;1]$, car $a>0$.

La formule d'intégration par parties $\displaystyle\int_a^1uv'=\left[uv\right]_a^1-\int_a^1u'v$ donne :

Comme $\ln1=0$ :

Question 5. c)

On calcule $\displaystyle\int_a^1x\ln x\,\mathrm{d}x$ par une nouvelle intégration par parties. On pose

d'où

Ces fonctions sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a\,;1]$. Alors

On reporte dans le résultat de la question 5. b) :

Donc, pour tout $a\in]0\,;1]$, l'égalité demandée est démontrée.

Question 5. d)

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{a\to0^{+}}a\ln a=0$.

On en déduit, par produit et composition avec la fonction carré :

De plus $\lim\limits_{a\to0}a^{2}=0$.

Par somme des limites dans l'expression obtenue à la question 5. c) :

Donc l'intégrale tend vers $\dfrac14$ quand $a$ tend vers $0$.

Réponse : $\dfrac14$.

Points clés attendus

• Citer les croissances comparées ($X\ln X\to0$ en $0$) et la limite d'une composée pour la question 2. b).

• Dériver avec la formule du produit et simplifier avant de factoriser en $(\ln x)(2+\ln x)$.

• Justifier le signe de $f'$ par le signe de chaque facteur, en utilisant la stricte croissance de $\ln$.

• Pour l'équation $f(x)=2$ : écarter $]0\,;1]$ grâce au maximum, puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $[1\,;+\infty[$ avec continuité, stricte monotonie et valeurs aux bornes.

• Pour chaque intégration par parties : poser $u$, $v'$, $u'$, $v$, préciser le caractère $\mathcal{C}^{1}$ et évaluer le crochet en $a$ et en $1$.

• Pour la limite finale, citer les croissances comparées pour chaque terme contenant $\ln a$.

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