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Terminale Spé Maths / Chapitre 1 : Suites / Annales du bac

Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 4

20 novembre 2025 · jour 1 · 5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte.
Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

  1. On considère la fonction ff définie sur l’intervalle ]0  ;  +∞[]0\;;\; +\infty[ par :

    f(x)=ln⁡(x)−x2.f(x) = \ln (x) - x^2.

    Affirmation 1 : lim⁡x→+∞f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

  2. On considère l’équation différentielle

    (E):−2y′+3y=sin⁡x+8cos⁡x.(E) : \quad - 2y' + 3y = \sin x + 8\cos x.

    On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par :

    f(x)=2cos⁡x−sin⁡x.f(x) = 2\cos x - \sin x.

    Affirmation 2 : La fonction ff est solution de l’équation différentielle (E)(E).

  3. On considère la fonction gg définie sur l’intervalle ]0  ;  +∞[]0\;;\;+\infty[ par :

    g(x)=ln⁡(3x+1)+8.g(x) = \ln (3x + 1) + 8.

    On considère la suite (un)(u_n) définie par u0=25u_0 = 25 et pour tout entier naturel nn :

    un+1=g(un).u_{n+1} = g(u_n).

    On admet que la suite (un)(u_n) est strictement positive.

    Affirmation 3 : La suite (un)(u_n) est décroissante.

  4. On considère une fonction affine hh définie sur R\mathbb{R}.

    On note kk la fonction définie sur R\mathbb{R} par k(x)=x4+x2+h(x)k(x) = x^4 + x^2 + h(x).

    Affirmation 4 : La fonction kk est convexe sur R\mathbb{R}.

  5. Une anagramme d'un mot est le résultat d'une permutation des lettres de ce mot.

    Exemple : le mot BAC est possède 6 anagrammes : BAC, BCA, ABC, ACB, CAB, CBA.

    Affirmation 5 : Le mot EULER possède 120 anagrammes.

Voir le corrigé

Affirmation 1. Vraie.

Pour tout x>0x>0, on factorise par le terme dominant :

f(x)=ln⁡(x)−x2=x2(ln⁡xx2−1).f(x)=\ln(x)-x^2=x^2\left(\dfrac{\ln x}{x^2}-1\right).

D'après le théorème des croissances comparées, lim⁡x→+∞ln⁡xx2=0\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0. Donc

lim⁡x→+∞(ln⁡xx2−1)=−1.\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\ln x}{x^2}-1\right)=-1.

De plus, lim⁡x→+∞x2=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty.

Par produit des limites (+∞+\infty par −1-1), on obtient

lim⁡x→+∞f(x)=−∞.\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.

Donc l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Vraie.

La fonction ff est dérivable sur R\mathbb{R} et

f′(x)=−2sin⁡x−cos⁡x.f'(x)=-2\sin x-\cos x.

On calcule le membre de gauche de (E)(E) :

−2f′(x)+3f(x)=−2(−2sin⁡x−cos⁡x)+3(2cos⁡x−sin⁡x)=4sin⁡x+2cos⁡x+6cos⁡x−3sin⁡x=sin⁡x+8cos⁡x.\begin{aligned} -2f'(x)+3f(x)&=-2\left(-2\sin x-\cos x\right)+3\left(2\cos x-\sin x\right)\\ &=4\sin x+2\cos x+6\cos x-3\sin x\\ &=\sin x+8\cos x. \end{aligned}

Cette égalité est vraie pour tout réel xx : ff vérifie (E)(E) sur R\mathbb{R}.

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Vraie.

La fonction x↦3x+1x\mapsto3x+1 est strictement croissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ et à valeurs dans ]1 ;+∞[]1\,;+\infty[, où la fonction ln⁡\ln est strictement croissante. Par composée, puis ajout de la constante 88, la fonction gg est strictement croissante sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[.

On démontre par récurrence la propriété P(n)P(n) : « un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_n ».

Initialisation. On a u0=25u_0=25 et u1=g(25)=ln⁡(76)+8≈12,33u_1=g(25)=\ln(76)+8\approx12{,}33. Donc u1⩽u0u_1\leqslant u_0 : P(0)P(0) est vraie.

Hérédité. Soit kk un entier naturel fixé tel que P(k)P(k) soit vraie, c'est-à-dire uk+1⩽uku_{k+1}\leqslant u_k (hypothèse de récurrence).

Les termes uku_k et uk+1u_{k+1} sont strictement positifs (admis), donc ils appartiennent à ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[, intervalle sur lequel gg est croissante.

On applique gg à chaque membre de l'inégalité en conservant son sens :

g(uk+1)⩽g(uk),g(u_{k+1})\leqslant g(u_k),
soit uk+2⩽uk+1u_{k+2}\leqslant u_{k+1}. Donc P(k+1)P(k+1) est vraie.

Conclusion. P(0)P(0) est vraie et PP est héréditaire : d'après le principe de récurrence, un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_n pour tout entier naturel nn.

Donc la suite (un)(u_n) est décroissante, et l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. Vraie.

Les fonctions polynomiales et la fonction affine hh sont deux fois dérivables sur R\mathbb{R}, donc kk l'est aussi. Pour tout réel xx :

k′(x)=4x3+2x+h′(x)etk′′(x)=12x2+2+h′′(x).k'(x)=4x^3+2x+h'(x)\qquad\text{et}\qquad k''(x)=12x^2+2+h''(x).

La fonction hh est affine, donc h′h' est constante et h′′=0h''=0. Ainsi

k′′(x)=12x2+2.k''(x)=12x^2+2.

Pour tout réel xx, 12x2⩾012x^2\geqslant0, donc k′′(x)⩾2>0k''(x)\geqslant2>0.

La dérivée seconde k′′k'' est positive sur R\mathbb{R} : la fonction kk est convexe sur R\mathbb{R}.

Donc l'affirmation 4 est vraie.

Affirmation 5. Fausse.

Le mot EULER a 55 lettres : E, U, L, E, R. La lettre E apparaît deux fois, les lettres U, L et R une seule fois.

Si les deux E étaient discernables, il y aurait 5!=1205!=120 permutations des lettres. Mais échanger les deux E ne change pas le mot : chaque anagramme est comptée deux fois.

Le nombre d'anagrammes distinctes est donc

5!2!=1202=60.\dfrac{5!}{2!}=\dfrac{120}{2}=60.

Comme 60≠12060\neq120, l'affirmation 5 est fausse : le mot EULER possède 6060 anagrammes.

Points clés attendus

  • Affirmation 1 : lever la forme indéterminée +∞−∞+\infty-\infty par factorisation de x2x^2, en citant les croissances comparées.

  • Affirmation 2 : dériver ff puis remplacer dans (E)(E) et développer pour retrouver exactement le second membre.

  • Affirmation 3 : récurrence rédigée en trois temps, en citant la croissance de gg sur ]0 ;+∞[]0\,;+\infty[ et la stricte positivité admise des termes.

  • Affirmation 4 : calculer k′′k'', utiliser h′′=0h''=0 et justifier le signe de k′′k'' sur R\mathbb{R}.

  • Affirmation 5 : repérer la lettre répétée (le E) et diviser 5!5! par 2!2!.

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Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Nouvelle-Calédonie, 20 novembre 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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