Bac 2025, Nouvelle-Calédonie : exercice 3

Partie A

Question 1.

La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0\,;1]$ (énoncé). Elle s'écrit $f_1=uv$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{1-x}$, donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{1-x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{w}$ avec $w(x)=1-x$).

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Soit $x\in[0\,;1[$. On a $1-x>0$ et $\mathrm{e}^{1-x}>0$ (une exponentielle est strictement positive).

Donc $f_1'(x)$, produit de deux facteurs strictement positifs, est strictement positif.

Donc $f_1'(x)>0$ pour tout $x\in[0\,;1[$.

Question 2.

La dérivée $f_1'$ est strictement positive sur $[0\,;1[$ et ne s'annule qu'en $1$. Donc $f_1$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.

On calcule les valeurs aux bornes :

Donc le tableau de variations de $f_1$ sur $[0\,;1]$ est : $f_1$ est strictement croissante, de la valeur $0$ en $x=0$ à la valeur $1$ en $x=1$.

Question 3.

On vérifie les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection) :

• $f_1$ est dérivable sur $[0\,;1]$, donc continue sur $[0\,;1]$

• $f_1$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$

• $f_1(0)=0$ et $f_1(1)=1$, et $0{,}1$ est un réel compris entre $f_1(0)$ et $f_1(1)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à une fonction continue et strictement monotone, l'équation $f_1(x)=0{,}1$ admet une solution unique dans $[0\,;1]$.

Donc l'équation $f_1(x)=0{,}1$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0\,;1]$.

Partie B

Question 1. a)

Soit $x\in[0\,;1]$ et $n$ un entier naturel non nul.

On a $x\geqslant0$, donc $x^n\geqslant0$ et $x^{n+1}=x\times x^n\geqslant0$.

De plus,

Or $x^n\geqslant0$ et $1-x\geqslant0$ (car $x\leqslant1$), donc $x^n(1-x)\geqslant0$, soit $x^{n+1}\leqslant x^n$.

Donc $0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n$ pour tout $x\in[0\,;1]$ et tout entier $n\geqslant1$.

Question 1. b)

Pour tout $x\in[0\,;1]$, on a $\mathrm{e}^{1-x}>0$. On multiplie chaque membre de l'inégalité précédente par ce réel strictement positif, ce qui conserve le sens des inégalités :

L'intégrale est croissante (les bornes $0\leqslant1$ sont dans l'ordre croissant et les fonctions sont continues sur $[0\,;1]$). Donc

Donc $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout entier $n\geqslant1$.

Question 1. c)

D'après la question précédente, $u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\geqslant1$ : la suite $(u_n)$ est décroissante. De plus, $u_n\geqslant0$ pour tout $n\geqslant1$ : elle est minorée par $0$.

D'après le théorème de convergence monotone (une suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 2. a)

Soit $n$ un entier naturel non nul. On pose, pour $x\in[0\,;1]$ :

d'où

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[0\,;1]$. On peut donc appliquer la formule d'intégration par parties :

On calcule le crochet :

Par linéarité de l'intégrale, l'intégrale restante vaut $(n+1)u_n$.

Donc $u_{n+1}=(n+1)u_n-1$ pour tout entier $n\geqslant1$.

Question 2. b)

On part de $u_1=\mathrm{e}-2$. La relation de la question 2. a) donne $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ : pour passer de $u_1$ à $u_8$, il faut appliquer la relation pour $n=1{,}2,\ldots,7$, soit $7$ fois. La boucle for n in range(1, 8) parcourt exactement ces valeurs de $n$.

Script complété :

from math import exp

def suite():
    u = exp(1) - 2
    for n in range(1, 8):
        u = (n + 1) * u - 1
    return u

La fonction renvoie $u_8=\displaystyle\int_0^1x^8\mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x\approx0{,}1233$ (arrondi au dix-millième).

Réponse : u = exp(1) - 2, range(1, 8), u = (n + 1) * u - 1, return u.

Question 3. a)

Soit $x\in[0\,;1]$. On a $1-x\leqslant1$ et la fonction exponentielle est croissante, donc $\mathrm{e}^{1-x}\leqslant\mathrm{e}$.

Comme $x^n\geqslant0$, on en déduit

Par croissance de l'intégrale sur $[0\,;1]$ :

Donc $u_n\leqslant\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}$ pour tout entier $n\geqslant1$.

Question 3. b)

Pour tout entier $n\geqslant1$, d'après les questions 1. b) et 3. a) :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}0=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}=0$.

D'après le théorème des gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est $0$.

Points clés attendus

• Dériver avec la formule $(uv)'$ et justifier le signe de $f_1'$ par la positivité de chaque facteur.

• Pour l'unicité de la solution, citer le théorème des valeurs intermédiaires avec continuité, stricte monotonie et encadrement de $0{,}1$ par $f_1(0)$ et $f_1(1)$.

• Utiliser la croissance de l'intégrale (bornes dans l'ordre) pour comparer $u_{n+1}$ et $u_n$, puis le théorème de convergence monotone.

• Écrire proprement l'intégration par parties : choix de $u$ et $v'$, crochet évalué en $0$ et en $1$.

• Dans le script Python, compter le nombre d'itérations : $7$ applications de la relation pour passer de $u_1$ à $u_8$.

• Majorer par $\dfrac{\mathrm{e}}{n+1}$ puis conclure avec le théorème des gendarmes.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.