Bac 2025, Métropole : exercice 1

Partie A

Question 1.

Les données de l'énoncé se traduisent par

On en déduit

Arbre pondéré :

• de la racine partent deux branches : $A$ pondérée par $0{,}6$ et $\overline{A}$ pondérée par $0{,}4$

• de $A$ partent deux branches : $B$ pondérée par $0{,}3$ et $\overline{B}$ pondérée par $0{,}7$

• de $\overline{A}$ partent deux branches : $B$ pondérée par $0{,}4$ et $\overline{B}$ pondérée par $0{,}6$.

Question 2.

D'après la formule des probabilités composées :

On a donc

Interprétation : la probabilité qu'une personne ayant souscrit à la formule ne chute ni pendant la première ni pendant la deuxième séance est égale à $0{,}24$. Autrement dit, $24\,\%$ des personnes ayant souscrit à la formule ne chutent à aucune des deux séances.

Réponse : $P\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=0{,}24$.

Question 3.

Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec $P(A)\neq 0$ et $P(\overline{A})\neq 0$).

D'après la formule des probabilités totales :

Or

Donc

La probabilité que la personne chute pendant la deuxième séance est bien égale à $0{,}34$.

Question 4.

On cherche la probabilité de $\overline{A}$ sachant $\overline{B}$, c'est-à-dire $P_{\overline{B}}(\overline{A})$.

On a

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(\overline{B})\neq 0$) :

Donc, sachant que la personne ne chute pas pendant la deuxième séance, la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première est $\dfrac{4}{11}$, soit environ $0{,}364$ au millième près.

Réponse : $P_{\overline{B}}(\overline{A})=\dfrac{4}{11}\approx 0{,}364$.

Question 5. a)

On choisit $100$ personnes avec remise. Les $100$ choix sont donc identiques et indépendants.

Pour chaque personne choisie, on considère l'épreuve de Bernoulli dont le succès est « la personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance », de probabilité $p=0{,}24$ (valeur admise).

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès au cours de ces $100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}24$.

Question 5. b)

On cherche $P(X\geqslant 20)$. L'évènement contraire de $X\geqslant 20$ est $X\leqslant 19$, donc

À la calculatrice, avec la loi binomiale $\mathcal{B}(100\,;0{,}24)$, on obtient $P(X\leqslant 19)\approx 0{,}145$, d'où

La probabilité d'avoir au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est donc d'environ $0{,}855$ (au millième).

Réponse : $P(X\geqslant 20)\approx 0{,}855$.

Question 5. c)

Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, on a $E(X)=np$. Donc

Interprétation : sur un grand nombre d'échantillons de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, le nombre moyen de personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $24$ par échantillon.

Réponse : $E(X)=24$.

Partie B

Question 1.

D'après la linéarité de l'espérance :

Interprétation : en moyenne, une personne venue un week-end au centre multisports attend $100$ minutes au total (samedi et dimanche) avant les accès aux activités sportives.

Réponse : $E(T)=100$ minutes.

Question 2.

On a $V(T_1)=\sigma(T_1)^2=10^2=100$ et $V(T_2)=\sigma(T_2)^2=16^2=256$.

Les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances :

La variance de $T$ est bien égale à $356$.

Question 3.

Pour tout réel $T$, on a

Comme $E(T)=100$, l'évènement contraire de $60<T<140$ est $|T-E(T)|\geqslant 40$.

La variable aléatoire $T$ admet une espérance $E(T)=100$ et une variance $V(T)=356$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel $\delta>0$ :

Avec $\delta=40$ :

Donc

Comme $0{,}7775>0{,}77$, la probabilité que le temps total d'attente soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est supérieure à $0{,}77$.

Points clés attendus

• Traduire les données de l'énoncé en probabilités conditionnelles et construire l'arbre avec des branches de somme $1$.

• Citer la partition $\{A,\overline{A}\}$ et la formule des probabilités totales pour obtenir $P(B)$.

• Justifier la loi binomiale : répétition de $100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise), avec les paramètres $n=100$ et $p=0{,}24$.

• Utiliser l'évènement contraire pour $P(X\geqslant 20)$ et interpréter l'espérance dans le contexte.

• Pour la variance de $T$, invoquer l'indépendance de $T_1$ et $T_2$.

• Pour Bienaymé-Tchebychev, passer par l'évènement contraire $|T-100|\geqslant 40$ avant de conclure.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.