Bac 2025, Métropole : exercice 2

Partie A

Question 1.

Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $T_A$ à $\mathcal{C}_f$ au point A$(1\;;\;2)$.

La droite $T_A$ passe par A$(1\;;\;2)$ et par C$(3\;;\;0)$. Ces deux points ont des abscisses distinctes, donc son coefficient directeur est

Donc le nombre dérivé de $f$ en $1$ est $-1$.

Réponse : $f'(1) = -1$.

Question 2.

Les solutions de l'équation $f'(x) = 0$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ où la tangente est horizontale, c'est-à-dire de coefficient directeur nul.

Sur $]0\;;\;3]$, la courbe $\mathcal{C}_f$ présente un maximum local (au voisinage de $x \approx 0{,}4$) : la tangente y est horizontale.

Elle présente ensuite un minimum local (au voisinage de $x \approx 1{,}7$) : la tangente y est également horizontale.

Entre ces deux points la courbe décroît, avant le maximum et après le minimum elle croît, et on ne lit aucun autre point à tangente horizontale sur $]0\;;\;3]$.

Donc l'équation $f'(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle $]0\;;\;3]$.

Réponse : 2 solutions.

Question 3.

Au voisinage de $x = 0{,}2$, la courbe $\mathcal{C}_f$ se situe sous ses tangentes : elle est « tournée vers le bas », avant son maximum local.

Une fonction dont la courbe est au-dessous de ses tangentes est concave, et une fonction deux fois dérivable est concave sur un intervalle lorsque sa dérivée seconde y est négative.

Donc $f$ est concave au voisinage de $0{,}2$, et $f''(0{,}2) < 0$.

Réponse : $f''(0{,}2) < 0$.

Partie B

Question 1.

On considère le trinôme $2X^2 - 3X + 2$, avec $a = 2$, $b = -3$, $c = 2$.

Son discriminant est

Comme $\Delta < 0$, l'équation $2X^2 - 3X + 2 = 0$ n'admet aucune solution réelle.

De plus, un trinôme sans racine réelle a le signe de son coefficient dominant. Ici $a = 2 > 0$, donc

Soit $x > 0$. On a $f(x) = x\left[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\right]$, et le crochet est la valeur du trinôme en $X = \ln x$.

Donc le crochet est strictement positif. Comme $x > 0$, le produit $f(x)$ est strictement positif.

Ainsi $f(x) > 0$ pour tout $x > 0$ : l'équation $f(x) = 0$ n'a pas de solution.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

Réponse : $\Delta = -7$, pas de solution réelle, et $f(x) > 0$ sur $]0\;;\;+\infty[$.

Question 2.

On a $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Pour $x > 1$, on factorise le trinôme par son terme de plus haut degré :

Par limite d'un quotient, $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3}{\ln x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2}{(\ln x)^2} = 0$, donc la parenthèse tend vers $2$.

Par ailleurs $\lim\limits_{x \to +\infty} (\ln x)^2 = +\infty$ (limite d'une composée avec la fonction carré).

Par produit, $\lim\limits_{x \to +\infty} \left[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2\right] = +\infty$.

Comme $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$, on obtient par produit

Donc la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Question 3.

a) La fonction $f'$ définie par $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$, comme somme de fonctions dérivables (composée de $\ln$ avec le carré et fonction $\ln$).

On dérive $2(\ln x)^2$ avec la formule $(u^2)' = 2u'u$ où $u = \ln$, de dérivée $u'(x) = \dfrac1x$ :

On a de plus $(\ln x)' = \dfrac1x$ et $(-1)' = 0$.

Donc, pour tout $x > 0$,

b) Pour tout $x > 0$, on a $\dfrac1x > 0$. Donc $f''(x)$ a le même signe que $4\ln x + 1$.

On résout, la fonction exponentielle étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :

Donc $f''(x) < 0$ sur $]0\;;\;\mathrm{e}^{-1/4}[$, $f''(\mathrm{e}^{-1/4}) = 0$, et $f''(x) > 0$ sur $]\mathrm{e}^{-1/4}\;;\;+\infty[$.

Une fonction dont la dérivée seconde est négative sur un intervalle y est concave, et positive y est convexe. Donc $f$ est concave sur $]0\;;\;\mathrm{e}^{-1/4}]$ et convexe sur $[\mathrm{e}^{-1/4}\;;\;+\infty[$.

La dérivée seconde s'annule en changeant de signe en $\mathrm{e}^{-1/4}$ : c'est le seul point d'inflexion de $\mathcal{C}_f$.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $\mathrm{e}^{-1/4}$.

Réponse : concave sur $]0\;;\;\mathrm{e}^{-1/4}]$, convexe sur $[\mathrm{e}^{-1/4}\;;\;+\infty[$, point d'inflexion d'abscisse $\mathrm{e}^{-1/4}$.

c) On a $\mathrm{e}^{-1/4} < \mathrm{e}^0 = 1$, car l'exposant est négatif et la fonction exponentielle est strictement croissante.

Donc $[1\;;\;+\infty[ \subset [\mathrm{e}^{-1/4}\;;\;+\infty[$, et la fonction $f$ est convexe sur $[1\;;\;+\infty[$.

Or la courbe d'une fonction convexe est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l'intervalle de convexité.

La droite $T_B$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$, et $\mathrm{e} \in [1\;;\;+\infty[$.

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T_B$ sur $]1\;;\;+\infty[$.

Partie C

Question 1.

La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$ a pour équation

On calcule, avec $\ln \mathrm{e} = 1$ :

Donc

Donc $T_B$ a pour équation réduite $y = 2x - \mathrm{e}$.

Question 2.

On pose, pour $x \in [1\;;\;\mathrm{e}]$,

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[1\;;\;\mathrm{e}]$, donc la formule d'intégration par parties s'applique :

On obtient

Donc $\displaystyle\int_1^{\mathrm{e}} x\ln x\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}$.

Question 3.

D'après la question 3.c) de la partie B, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $T_B$ sur $[1\;;\;\mathrm{e}]$. Donc $f(x) - (2x - \mathrm{e}) \geqslant 0$ sur cet intervalle.

Les fonctions étant continues, l'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$, $T_B$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \mathrm{e}$ est

On développe $f(x) = 2x(\ln x)^2 - 3x\ln x + 2x$. Par linéarité de l'intégrale et d'après les deux résultats connus :

On calcule ensuite

Donc

Donc l'aire du domaine hachuré est $\dfrac{3\mathrm{e}^2 - 4\mathrm{e} - 5}{4}$ unités d'aire, soit environ $1{,}574$ unité d'aire.

Réponse : $\mathcal{A} = \dfrac{3\mathrm{e}^2 - 4\mathrm{e} - 5}{4}$ u.a. $\approx 1{,}574$ u.a.

Points clés attendus

• Partie A : justifier chaque lecture par le graphique (coefficient directeur de $T_A$ à partir de deux points, tangentes horizontales, position de la courbe par rapport à ses tangentes pour le signe de $f''$).

• Partie B : citer le signe d'un trinôme de discriminant négatif, puis la limite par produit   la dérivée seconde se calcule avec $(u^2)' = 2u'u$.

• Convexité : relier le signe de $f''$ à la convexité, et utiliser la position d'une courbe convexe par rapport à ses tangentes pour la question 3.c).

• Partie C : équation de tangente par la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, hypothèses de l'intégration par parties vérifiées (fonctions de classe $\mathcal{C}^1$).

• Aire : justifier la position relative de la courbe et de la tangente avant d'écrire l'intégrale de $f(x) - (2x - \mathrm{e})$, puis utiliser la linéarité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.