Bac 2025, Métropole : exercice 2

Affirmation 1. Fausse.

Un groupe est constitué de 2 filles choisies parmi 14 et de 2 garçons choisis parmi 10. L'ordre dans lequel on choisit les élèves n'intervient pas : il s'agit de combinaisons.

Le nombre de façons de choisir les 2 filles est

Le nombre de façons de choisir les 2 garçons est

Chaque choix de deux filles peut être associé à chaque choix de deux garçons. Donc le nombre de groupes est

Or $4095\neq 272$. Donc l'affirmation 1 est fausse : on peut constituer $4095$ groupes différents.

Affirmation 2. Vraie.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, comme composée de la fonction affine $x\mapsto 2x+\pi$ par la fonction sinus. Pour tout réel $x$ :

L'équation de la tangente à $C$ au point d'abscisse $a=\dfrac{\pi}{2}$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

On calcule :

Donc la tangente a pour équation

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3. Fausse.

La fonction $F$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$, comme produit de la fonction affine $x\mapsto 2x+1$ par la fonction $\ln$. On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=\ln(x)$ :

Pour $x=1$ : $F'(1)=2\ln(1)+2+1=3$, alors que $f(1)=\dfrac21=2$.

Donc $F'(1)\neq f(1)$ : $F$ n'est pas une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$.

Donc l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4. Fausse.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout réel $t$ :

On calcule alors

Pour $t=0$, on obtient $g'(0)+0{,}06\,g(0)=5{,}4+1{,}2=6{,}6\neq 1{,}2$.

Donc $g$ n'est pas solution de $(E_1)$, même si $g(0)=45+20=65$ : la condition initiale est vérifiée, mais l'équation ne l'est pas.

Donc l'affirmation 4 est fausse.

Affirmation 5. Vraie.

Soit $y$ une solution de $(E_2)$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, positive sur $\mathbb{R}$.

D'après $(E_2)$, pour tout réel $x$ :

La fonction $y'$ est somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$, donc $y$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On dérive l'égalité précédente :

Par hypothèse $y(x)\geqslant 0$, et $\mathrm{e}^{0{,}4x}>0$ pour tout réel $x$. Donc $y''(x)>0$ pour tout réel $x$.

Une fonction dont la dérivée seconde est positive sur $\mathbb{R}$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

Donc l'affirmation 5 est vraie : les solutions positives de $(E_2)$ sont convexes sur $\mathbb{R}$.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : reconnaître un choix sans ordre, donc des combinaisons, et multiplier $\binom{14}{2}$ par $\binom{10}{2}$.

• Affirmation 2 : écrire la formule de la tangente $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec les valeurs de $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ calculées.

• Affirmations 3 et 4 : réfuter par un calcul de dérivée, avec un contre-exemple numérique.

• Affirmation 4 : ne pas se contenter de vérifier la condition $g(0)=65$.

• Affirmation 5 : exprimer $y''$ à l'aide de l'équation différentielle, puis utiliser la positivité de $y$ et de l'exponentielle pour conclure à la convexité.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.